Релятивистские модели сплошных сред - Черный Л.Т.
Скачать (прямая ссылка):
Необратимые процессы. Для завершения построения модели тепло- и электропроводной, поляризующейся и намагничивающейся, вязкой среды следует еще задать законы, определяющие независимо от динамических уравнений величины Фа, Ta, Pa9 Ma9 таР, присутствующие в выражении (15.13) для функционала 6№*. Для этого используем общую теорию, изложенную в § 12. Рассматривая величины — T-1Cba9 — T1-1Ta, — T-1Pa9 — T-1Ma9 71-1^ как обобщенные термодинамические силы Xb9 а величины Sa9 /а, dpjdx, dmJdT9 Tap как сопряженные им обобщенные потоки Jя, найдем, что выражение (15.48) для о имеет вид (12.11). Применяя затем линейные законы
(12.21), для необратимых процессов, близких к обратимым, получим кинетические уравнения, которые можно использовать для определения коэффициентов Фа, Ta, Pa9 Ma9 Tap в функционале 6W*:
TSy -----Цфф)фа - LftvWa - LimaPa -
-L^myMa+ LJ^eafi,
Tp = - LJ§ф,Фа - L^WVa - L{WP)lPa -
+ р,
T = - / <РФ)“Фа - L^avWa - L\T?a -
+ (15,49)
Umy__ (МФ)аут> rfM’FJam г(.МР)па
1 fa------- V4rVx —и v*a— bVa г —
— м 1Ma + Lim е) “5бар,
Ttap = - Це%Фу - LffitVy - L(eP) a$Pv -
-L(eM)a*Mv + Lffi6ey6.
234
СПЕЦИАЛЬНЫЕ МОДЕЛИ СПЛОШНЫХ СРЕД
(ГЛ. 5
Входящие в них феноменологические коэффициенты Lb>
вообще говоря, являются тензорными функциями от определяющих параметров, их производных и известных параметров кв (Iа) (например, от величины уа$9 Z7c^, ра9 COy, р, T = dU/dS) и задаются на основании дополнительных теоретических гипотез и экспериментальных данных. Указанные коэффициенты должны удовлетворять неравенствам, следующим из неотрицательности диссипативной функции or, а также условиям (13.63), (14.45) и соотношениям
Обобщенные термодинамические силы -T-1Oa, -T-ixFat
— T“ipa, -T-1Ma9 T~leар связаны между собой зависимостями
ф аиа = Waua = Раиа = Маиа = еа$иа = ет] = 0.
причем их можно выбрать так, что будут выполняться соотношения Онсагера — Казимира (12.23).
В дальнейшем, рассматривая необратимые процессы, ограничимся простейшим случаем, когда уравнения (15.49) имеют вид
Из выражения (15.48) для о следует, что при Pa = = Ma = О процессы поляризации и намагничивания не дают вклада в диссипативную функцию. Таким образом, третье и четвертое равенства (15.50) означают, что процессы поляризации и намагничивания протекают обратимым образом. Положив Pa = Ma = 0 в динамических уравнениях (15.24) и учитывая определение (5.42) компонент 4-векторов напряженности электрического поля и индук-
((DP)V
(ФЛ1) V
(WP) у
(VAl)V
a — a — “-у 06 — Yi^ a —
UvL<™> “ = uvL<^> “ = uv = > = U4L(Pe)«? = 0,
uyL(M0)a = uyL(MV)a = = > = U^lJ M*'= 0,
r(*P)ap г(«М)аЭ_л f (^)[a3J_/(«^)[аЭ]_л
HaLr у — HaLr у — L у — у — w,
вытекающим из тождеств
UySy = uY/v = Ua^f-= Ua^ = UaTap = = 0.
Поэтому коэффициенты Lb определяются неоднозначно,
<7“ = TSa = хФа, ja = y'?a, Pa=Ma = O, Xap = — Х.уаре^ + 2це“р.
’ (15.50)
ПОЛЯРИЗУЮЩАЯСЯ СРЕДА
235
ции магнитного поля еа, Ьа, получим соотношения
PV«Їш; + T~ЬУ- I15-51)
Они определяют обратимые процессы поляризации и намагничивания сплошной среды. Физический смысл первого, второго и последнего равенств (15.50) тот же, что и в §§ 13, 14. В частности, для компонент 4-векторов плотности потока тепла и плотности электрического тока проводимости справедливы выражения, получающиеся из (13.66) и (14.47) при dUIdSa = dU Idja = dUIdZ = 0.
Диссипативную функцию по-прежнему можно представить в виде (14.48), из которого следуют неравенства
(14.49) для коэффициентов х» V» К Щ определяющих необратимые эффекты тепло- и электропроводности и вязкости Как и в §§ 13, 14, если коэффициенты вязкости X, м равны нулю, а коэффициенты теплопроводности х и проводимости у равны нулю или бесконечности, то все процессы обратимы (сг = 0), функционал 8W* = 0, и из исходного вариационного уравнения вытекает принцип экстремальности действия
6/ = 0 при 6№ = 0.
Специальные модели. Модель с лагранжианом (15.1) и функционалом 6W* (15.13) представляет собой модель нелинейно-упругой тепло- и электропроводной, поляризующейся и намагничивающейся, вязкой среды и электромагнитного поля. Очевидно, она является обобщением тех из рассмотренных в § 13 и 14 моделей, для которых dUIdSa = dUIdja = dUIdZ = O. Различные модели поляризующихся и намагничивающихся сред построены также в работах [5, 15, 16, 20—34].
Рассмотрим некоторые частные модели, соответствующие специальным выражениям (15.1), (15.13) для лагранжиана и функционала 8W*. Как и в предыдущих параграфах, для нетеплопроводной и неэлектропроводной среды параметры <ра и г|эа исключаются из числа варьируемых функций и, следовательно, пропадают динамические уравнения и условия на разрывах, получающиеся при варьировании cpa(?Y) и \|)a(?Y). Если среда еще и невязкая, а процессы поляризации и намагничивания обратимы (точнее, Pa = Ma = O), то из числа варьируемых функций исключается также параметр ср, после чего функционал W* становится тождественно равным нулю. Удель-
236
СПЕЦИАЛЬНЫЕ МОДЕЛИ СПЛОШНЫХ СРЕД
