Релятивистские модели сплошных сред - Черный Л.Т.
Скачать (прямая ссылка):
Ш = Ta^uaIifi = Ш(о + ^(Я)» (15.40)
где
%(Н) = Т%иащ-------± (^da + ЬЧх) =
= + (15.41)
^(C) = ^(C)UaWp = P^ +у (e“Pa + b“«ia)-^coVmvt (15.42)
а е®, ba, da, ha — компоненты 4-векторов, определенные равенствами (5.42). Очевидно, слагаемое ?(С) можно рассматривать как плотность внутренней энергии поляризующейся и намагничивающейся среды с гиромагнитными свойствами в электромагнитном поле, а величину Ш{н) — как плотность энергии электромагнитного поля в поляризующейся и намагничивающейся среде в собственной ГСК. Выражение (15.42) для S1Q с учетом соотношения
(15.36) записывается также в виде
?<С) = р?/ (Р. 5, Yap» Py, my, *в) + J Fa^Mafi-а>уKy. (15.43)
Рассмотрим тождества, вытекающие из инвариантности электромагнитного поля относительно градиентного преобразования. Для рассматриваемой модели функционал SW * не зависит от вариаций компонент 4-потенциала электромагнитного поля. Поэтому, согласно общей теории, изложенной в § 10, действие должно быть инвариантно относительно градиентного преобразования (10.17), (10 18)1). Следствием этой инвариантности являются соотношения
(10.25), (10.27), которым должен удовлетворять лагранжиан. Используя выражения (15.19) и (5.14) для б I и Ja и антисимметричность компонент Яар, легко
доказать инвариантность действия в рассматриваемой модели относительно градиентного преобразования (10.17),
(10.18). Соответствующие выкладки получаются из ра-
1) Cm. примечание перед формулой (10.19).
ПОЛЯРИЗУЮЩАЯСЯ СРЕДА
231
венств (14.38) путем замены компонент Fa^ на Ha^. Для рассматриваемой модели лагранжиан, очевидно, имеет вид
(10.25) и, как указывалось в § 10, дАIdAa = C-1Ja. В результате соотношение (10.27) тождественно удовлетворяется в силу параметрического представления (5.14) для компонент Ja и кинематических соотношений (14.24) для параметров электрического тока tya.
Получим инвариантное уравнение энергии и тождество для коэффициентов при вариациях в функционале 8W*. Для этого применим к рассмотренной модели общую теорию, развитую в § 11 и 12, в частности соотношения (12.7), (12.10). Входящие в них компоненты Maj как и для предыдущих двух моделей, оказываются равными нулю (см. равенства (13.55)). Определенные равенством
(12.6) компоненты Wa при помощи простых, но громоздких преобразований с учетом соотношений (13.52), (14.32), (15.32) *), параметрических представлений величин Sy9 jy (см. § 5 и 6) и выражений (15.1), (15.39), (15.38), (14.2) соответственно для Л, TaP, Г(я)> Jy можно привести к виду
Wa = сТ?с,ыр -TSa-J KyaWy +
+ с FaWafi +± JyAy - ± соУШу) иа +
+ ш ^АуиУ)-JaAyuy, (15.44)
где Wy — компоненты 4-ускорения сплошной среды (CM. § 3). Подставим в тождество (12.7) выражения (15.1),
(13.55), (15.44) соответственно для Л, Ma, Wa и учтем, что в силу уравнений (14.2), (15.21), (15.23), (15.39), выражения (15.38) для Tfti) и антисимметричности компонент Fxp, #“р имеем
Va [jaAyUy - ? (АуиУ)] = VaVp HVAyU*) - О,
VaT1(pCa) = -VaTf^, (15.45)
- cupVar|g, = FfiyUtjy + (Ha^yFaр - Fa9VyH*) mm F.
Используя затем выражение (15.42) для плотности внутренней энергии среды, уравнение неразрывности (13.2) и
1J Cm примечание перед соотношением (15.32).
232 СПЕЦИАЛЬНЫЕ МОДЕЛИ СПЛОШНЫХ СРЕД [ГЛ. 5
определение собственного времени (см. § 3), окончательно получим соотношение
Ps V2 = 7^vа (смр) - V“ (?“ + J Kyawv) + f ’ (15-46)
в котором qa = TSa — компоненты 4-вектора плотности потока тепла. Соотношение (15.46) можно рассматривать как инвариантное уравнение энергии, представляющее собой релятивистское обобщение уравнения притока тепла для проводящей, поляризующейся и намагничивающейся сплошной среды с гиромагнитными свойствами в электромагнитном поле.
Подставляя в тождество (12.10) выражения (13.52),
(14.32), (15.32)х) и (13.55) для величин р/, Ma, Ма>
MaJt и Ma9 соответствующих рассматриваемой модели, получим равенство
, , раФа ,
Yy dx Yy Yy dz di
+ М“^ + т;%^ = 0. (15.47)
Оно отличается от аналогичного равенства (14.42) только
наличием членов с dpjdx, dmj(h. Используя преобразование последнего к виду (14.43), проведенное в § 14, легко убедиться, что соотношение (15.47) можно представить в следующем виде:
Фа 'Pa dpa Pa dma M7- а еал
Это выражение для о отличается от аналогичного выражения (14.43) в модели проводящей сплошной среды наличием членов, содержащих производные по собственному времени от компонент 4-векторов поляризации и намагниченности среды. Указанные производные образуют компоненты 4-векторов, так как, используя тождества иуру = = иуту = 0, их можно представить в ковариантном виде:
dT--J WW = Xld^+ ^L daxl = dx dx dx Vg00
= сх1и»дырч] = c«PVtp/ja] = с (UpVppa + Pj5VaUp),
1J Cm. примечание перед формулой (15.32).
ПОЛЯРИЗУЮЩАЯСЯ СРЕДА
233
и аналогично:
= CuPVc3ZnaJ = С (MpVpma + /TipVaMO).
Отсюда, в частности, следует, что иа dpa/dx=09 uadmjdx= = 0. Соотношение (15.48) представляет собой тождество, которому должны удовлетворять величины T9 Фа, Ta, Pa9 Ma9 тар, присутствующие в выражении (15.13) для функционала 6№*, соответствующего модели электро- и теплопроводной, вязкой, поляризующейся и намагничивающейся среды и электромагнитного поля.
