Математическая теория черных дыр Часть 2 - Чандрасекар С.
Скачать (прямая ссылка):
или в другом виде
бр — рб In [і = (2а* +2(3 — я* — т) р. (55)
С другой стороны, из тождества Риччи (гл. 1, уравнение (310л))
следует, что
бр = р (a* -f |3 -f т) — тр*. (56)
Исключая с помощью этого соотношения бр из уравнения (55), получаем, снова воспользовавшись уравнением (48):
—б|я = (а* -f |3 — я* — 2т) [і -f т|я*. (57)
Ho тождество Риччи (гл. 1, уравнение (ЗЮн)) дает
—бр,* = (a* -f (3 + я*) її* — я*р. (58)
Складывая уравнения (57) и (58), получаем —б (р -f р*) = (a* -f- (3 — 2я* — 2т) Jbi -f-
4-(а* + P + т 4- я*) [х*. (59)
С другой стороны, мы имеем соотношение (ср. с уравнением (53)) —б ([і + ц*) = —(2т — я* — а* — (3) ([х -f ^x*). (60)
Из сравнения уравнений (59) и (60) находим
TJl* — Я*(1 = 0, ИЛИ т/я* = |я/|Л*. (61)
Комбинируя уравнения (48), (51) и (61), получаем соотношения (35), что и следовало доказать.
Оказывается, что соотношениям (35) в действительности удовлетворяют большинство метрик типа D по классификации Петрова.
61. Геодезические в экваториальной плоскости
Ясно, что геодезические в экваториальной плоскости могут быть описаны практически так же, как и геодезические в пространстве-времени Щварцщильда или Рейсснера — Нордстрема;
61. Геодезические 6 экваториальной плоскости
5 7
существования интегралов энергии и момента количества движения оказывается достаточным для сведения задачи к квадратурам. Ho при этом имеются два существенных различия. Во-первых, следует различать прямые и обратные орбиты, т. е. орбиты, движение по которым вокруг оси симметрии совпадает или противоположно вращению черной дыры. И, во-вторых, координата ф, так же как и координата t, не является подходящей координатой для описания того, что же «в действительности» видит сопутствующий наблюдатель. Траектория, приближающаяся к горизонту (при гЛ или при г_), будет делать бесконечное число оборотов вокруг черной дыры, и чтобы пересечь горизонт, ей понадобится бесконечное время t, но ни то ни другое не происходит с сопутствующим наблюдателем.
Лагранжиан для движений в экваториальной плоскости (этим движениям соответствует 0=0, 0 = const = я/2) равен
29? = (1 —2Міг) і2 -f-4аМ/ф/г— г2г2/Д — [(г2 + a2) -f
+ 2а2М!г] ф2, (62)
откуда следуют выражения для обобщенных импульсов
Pt = (1 — 2Mir) і -J- 2aMy!r = E = const, (63)
— Py= —2aMtlr -f l(r2 + a2) + 2а2М!г] ф = L = const, (64)
—pr = r2r/A, (65)
где точка над буквой обозначает дифференцирование по аффин* ному параметру т. (Постоянство р% и /?ф следует из того, что лагранжиан не зависит от t и ф, а это в свою очередь проявление
стационарности и аксиальной симметрии геометрии Керра.) Гамильтониан имеет следующий вид:
= Ptt + /VP + PS — i? = V2 (1 — 2Міг) і2 -f 2aMtylr —
— r2r2/2A — 42{г2 + a2 + 2a2Mlr) ф2. (66)
Отсутствие в гамильтониане явной зависимости от координаты t приводит к постоянству гамильтониана
2Ж = [(I — 2Mlr)l -f 2аМ($1г]1 — [(г2 + а2 + 2а2М1г) ф —
— 2aMtlr] ф — r2r2/А = Ei — ?ф — r2r2/А = S1 = const. (67) Без потери общности можно положить
S1 = 1 (68а)
для времени подобных геодезических и
S1 = 0 (686)
для изотропных геодезических. (При этом в случае времениподоб-ных геодезических E следует интерпретировать как удельную энергию, т. е. энергию на единицу массы.)
58
Глава 7. Геодезические в пространстве-времени Keppd
Решая уравнения (63) и (64) для фи/, получаем
ф - (1/А) [(1 — 2Mir) L + 2aMEIr], (69)
I = (1/А) [(г2 + а2 + 2(Z2MIr) E — 2аМЦг]. (70)
Подставляя эти решения во второе равенство в уравнении (67),
получаем радиальное уравнение
г2г2 = V2E2 + (2М!г) (аЕ - L)2 + (a2E2 — L2) -S1A. (71)
а. Изотропные геодезические. Как уже упоминалось, для изотропных геодезических S1 = 0, и радиальное уравнение (71) принимает следующий вид:
г2 - E2 + (2MIr3) (L — аЕ)2 — (L2 — а2Е2)!г2. (72)
В дальнейшем нам будет удобно характеризовать геодезические прицельным параметром
D = UE (73)
вместо L.
Отметим прежде всего, что геодезические с прицельным параметром
D = a (L= аЕ) (74)
играют ту же роль, что и радиальные геодезические в геометриях Шварцшильда и Рейсснера — Нордстрема. Действительно, в этом случае уравнения (69), (70) и (72) сводятся к уравнениям
г - ±Е, I - (г2 + a2) EIAi ф - аЕ!А. (75)
Радиальная координата линейно зависит от аффинного параметра, а уравнения для t и ф можно переписать следующим образом:
dt/dr = ± (г2 +а2)/Д, dq/dr = ±а/Д. (76)
Решения этих уравнений имеют следующий вид (ср. с уравнением (238) гл. 6):
±t = г + [(г; + а2)/(г+— г.) ] In [(г/г+) — 1] —
— [(г + а2)/(г+ — г_) ] In [(г/г_) — 1) ],
(77)
±Ф = [а/(г+ — r_) ] In l(r/r+) — 11 —
Iа/(г+ — r_) \ In [(г/г.) — 1 ].
При приближении к горизонтам г+ и г_ значения координат і и ф стремятся к ±оо, на что мы уже обращали внимание.
Как будет показано ниже, изотропные геодезические, описываемые уравнениями (76), принадлежат к главным изотропным конгруэнциям геодезических, лежащим в экваториальной плоскости.
61. Геодезические в экваториальной плоскости
