Математическая теория черных дыр Часть 2 - Чандрасекар С.
Скачать (прямая ссылка):
= I к I2 [(к • п) DIW2 |-2/з + (к • 1) Д IY21'2/3], (30)
причем последнее равенство получается с учетом соотношений (4). Сравнение этого равенства с правой частью уравнения (26) приводит к соотношениям (24), что и требовалось доказать.
СЛЕДСТВИЕ I. В произвольном пространстве-времени типа D по классификации Петрова каждой изотропной геодезической к соответствует интеграл движения
K0 = 2\W21"2/3 (к - т) (к. т) = 2 11F21-(к. 1) (к. п). (31)
Это сразу же следует из доказанной теоремы, поскольку для изотропной геодезической I k I2 = 0, и поэтому для справедливости теоремы в этом случае ни одно из требований (24) не является необходимым.
СЛЕДСТВИЕ 2. Постоянная Ко в следствии 1 с точностью до множителя равна квадрату модуля комплексной постоянной Ks из теоремы 1.
Доказательство. Из уравнения (12) следует, что
KsKt = 41W21-2/3 [(к -1) (f - п) — (к - m) (f. т)] х
X [(к • I) (f • п) — (к • т) (f • т)], (32)
а из уравнения (16) —
IKs I2 = - 41 ^2|-2/з[(к-I)(f-n)-Ck-т) (f • т)]X
X [(к • n) (f • 1) — (к • т) (f • т)]. (33)
54
Глава 7. Геодезичбские в пространстве-времени Керра
Раскрывая скобки и упрощая с помощью тождеств (15) и (16) (примененных несколько раз), получаем
I Ks I2 = - 41Y21-2/3 {(к • 1) (к • п) (f. п) (f • 1) + (к • m)" (f • т)2 -
— (к • т) (f • т) [(к • n) (f • 1) + (к • I) (f • п)]} =
= - 41Y2\^3 {(к-т) (к т) (f • n) (f • 1) + (к• т)2 (f т)2 -
— (к • т) (f - т) [(к • ш) (f т) + (к • т) (f • т)]} =
= - 4 I W21-2/3 (к • т) (к • т) [(f n) (f I) — (f т) (f • in)] =
= - 4|V21"2/3 (к-т) (k.m)|f I2. (34)
При параллельном переносе f величина |f|2 остается постоянной вдоль геодезической к, откуда и следует доказываемое утверждение.
СЛЕДСТВИЕ 3. В метрике Керра существует сохраняющаяся величина указанного в теореме 2 вида.
Если выбрать систему координат, принятую нами в гл. 6 (уравнение (180)), то получаем
I ?2|"2/3 = M-2Z3P2 = M"2/3 (г2 + a2 cos2 0). (35)
Мы удовлетворим условиям теоремы, если положим
Q = M-2Ih2. (36)
Следовательно, в геометрии Керра величины К == 2р2 (к • 1) (к-п) — г21 к I2,
К = 2р2 (к - т) (к • ш) + а2 \ к |2 cos2 0 (37)
являются интегралами движения.
Два интеграла (37) могут рассматриваться как независимые, поскольку их эквивалентность вытекает из постоянства величины I к I2, что можно интерпретировать как закон сохранения массы покоя.
ТЕОРЕМА 3. Для существования в пространстве-времени типа D интеграла геодезического движения, рассматриваемого в теореме 2, необходимо и достаточно, чтобы спиновые коэффициенты р, т, jі и п были связаны соотношениями
р/р* = [х/(л* = т/я* = я/т*. (38)
Доказательство. По условию теоремы 2 существование интеграла геодезического движения вида (23) для пространства-времени типа D но классификации Петрова связано с существованием скаляра Q, обладающего следующими свойствами:
DO - Dfi AQ = Д/, SQ - S*Q - 0, (39)
60. Теоремы об интегралах
55
где для удобства введено обозначение
/ - I1F2I-2/3. (40)
Тождества Бианки (4) для вейлевского скаляра 1P2, записанные через функцию /, принимают следующий вид:
Df = -(P + P*) /; б/ = (я* - т) /;
(41)
Л/ = +(|i + (А*) /; б*/ = (я — T*) /.
Для доказательства теоремы нужно подействовать коммутационными соотношениями (гл. 1, §8, в) на скаляр Q, а затем получить следствия требований (39), согласованные с. уравнениями (41). Для пространства-времени типа D коммутационные соотношения с учетом соотношений (1) и (3) принимают следующий вид:
6*6 — SS* = (ц* — fx) D + (р* — р) Д + (а — P*) 6 +
+ (Р — а*) S*,
AD — DA = (у + 7*) D — (т* + я) S — (т + я*) б*,
(42)
SD — DS = (а* + P — я*) D — р*6,
8Д — AS = (т — а* — Р) Д + (ц — у — 7*) S.
Действуя этими соотношениями на скаляр Q, получаем, воспользовавшись требованиями (39):
(IX* - IX) Df + (р* - Р) Af = о, (43)
(AD — DA) f = (У +7*) D/, (44)
SDf = (a* + P — я*) Dfi (45)
S Af = (т — а* — Р) Д/. (46)
Воспользуемся теперь соотношениями (41). Уравнение (43) сразу же приводит к соотношению
(|Х* — |Х) (р + P*) - (р* — р) Ox + |Х*), (47)
которое после упрощения может быть записано в виде
PJlX* = р*|Х, или р/р* = (lx/jlx* . (48)
Вычисляя, далее, левую часть уравнения (44) с помощью соотношений (42), получаем
(т* -|- я) S/ -f (т -f я*) S*/ = 0. (49)
Вследствие соотношений (41) имеем
(т* -f л) (т — я*) -f- (т -{- я*) (т* — я) = 0. (50)
После упрощения уравнение (50) принимает вид
тт* —яя* — 0, или т/я* = я/т*. (51)
56
Глаза 7. Геодезические в пространстве-времени Керра
Получить следствия из уравнений (45) и (46) немного труднее. Прежде всего приведем с помощью уравнений (41) уравнения (45) и (46) к следующему виду:
6 In (р + P*) = (а* + (3 — 2я* -f т) = 6 In р +
+ 6 In (1 + р*/р), (52)
8 In (ц + ц*) = (2т — я* — а* — (3) = б In |я -f
+ 6 In (1 + (53)
Поскольку вследствие уравнения (48) р/р* = |я/ц,*, то, вычитая уравнение (53) из уравнения (52), получаем
б In р — б In [і = 2а* -f 2(3 —. я* — т, (54)
