Математическая теория черных дыр Часть 2 - Чандрасекар С.
Скачать (прямая ссылка):
Рис. 33. Зависимость радиусов круговых экваториальных орбит вокруг черной 1ыры Керра от параметра- а. Штриховые и пунктирные кривые (для прямых и обратных орбит) соответствуют границе устойчивости (ms), связанности (mb) и положению фотонных орбит (ph). Сплошными линиями обозначены горизонт событий г+ и экваториальная граница эргосферы, которая всегда лежит на расстоянии 2М.
а/М
Таблица' 7
Радиусы предельных круговых орбит
Прямая орбита Обратная орбита
a= M (1 — б) (б0) a = —М
/ph т M11 + (8б/3)1/2] AM
Tmb 4M M [1 + 2б1/2] (3+2 j/”2) M
rst т M [1 + (46)1/3] 9M
70
Глава 7. Геодезические в пространстве-времени Керра
Совпадение трех предельных радиусов для прямых орбит при a M в действительности «иллюзорно», поскольку собственные расстояния между ними стремятся к ненулевым пределам. В самом деле, если
a = M (1 — 6), г+ - M [1 + (2б)1/2 ] + О (б3/2), (142)
то собственное расстояние между г = M (1 + е) и г+ равно
г=М (1+є)
J M-!/2 dr -> M In [(62-26)^ + 61/(26)1/2. (143)
r+= M [l + (26)1/2]
Если взять значения е, приведенные в табл. 7, то получим (^ph ^+)собств. расст V2M ^ ^ При Є — (88/3)*/2*,
(Гтъ — Особств. расст -> M In (1 + уТ) при є = 261/2; (144)
fot — Г+)собств. расст м In (25/6б */6) при Є = (46)1/3.
Тот факт, что собственные расстояния стремятся к ненулевым пределам при а М, является следствием произвола в выборе радиальной координаты в пределе а -*• М. С этим связан также и другой факт: энергия частицы на последней устойчивой круговой орбите не стремится к бесконечности в пределе а2 -*¦ Af2 — 0, как можно было бы ожидать из совпадения радиуса орбиты с радиусом горизонта. Действительно, в случае a = M энергия частицы на круговой прямой орбите, обратный радиус которой равен и, определяется выражением (ср. с уравнением (117))
D / Л*\ 1—2Мы + (Ми)3/2 /1/|СЧ
Eairect (а - М) - и_ЗЛ1ц + 2 (Mu)3/2ji/2 » (145)
которое при стремлении радиуса орбиты к радиусу горизонта снаружи и изнутри, т. е. при и -*¦ M*"1 =F 0, стремится к разным пределам:
direct (Ci = M)-+ ±3-‘/2 (и -+ M-' =F 0). (146)
Предельное значение E = 3-1/2 при г M + 0, когда а = = M9 имеет важное значение — это максимальное значение энергии (на единицу массы), которое может иметь частица на устойчивой круговой орбите в геометрии Керра при а2 < M2.
Ниже, в § 66, мы рассмотрим следствия, к которым приводит обнаруженная нами разрывность функции E в пределе г -+ M ± 0 при a = M.
62. Общее уравнение геодезических и разделение переменных в уравнении Гамильтона—Якоби
В общем случае геодезическое движение в стационарном ак-сиально-симметричном пространстве-времени допускает два инте-
62. Общее уравнение геодезических
71
грала движения: момент количества движения относительно оси симметрии и энергию. Кроме того, вследствие параллельного перемещения 4-вектора скорости вдоль геодезической должна сохраняться его норма. Вообще говоря, существования этих трех интегралов движения еще недостаточно для сведения решения уравнений геодезического движения к квадратурам. Возможность такого сведения была обнаружена Картером, явным ^образом выполнившим разделение переменных уравнения Гамильтона—Якоби и доказавшим существование еще одной сохраняющейся величины. Вслед за Картером Уокер и Пенроуз показали, что любое пространство-время типа D по классификации ^Петрова обладает комформным тензорным полем Килинга (и, ^следовательно, сохраняющейся комплексной величиной Ks, которая фигурировала в теореме 1 § 60 для случая изотропных геодезических), а также показали, что в геометрии Керра вдобавок ^существует интеграл /С, который был введен нами в следствии 3 тгеоремы 2. В данном же параграфе мы проведем редукцию урав-шений геодезических в общем случае с учетом этих результатов. В общем случае лагранжиан имеет следующий вид:
23? = (I — 2 Mr Ip2) і2 + (AaMr sin2 0/р2) ftp — (р2/Д) г2 — р2ё2 —
_ (г2 + а2 + 2a2Mr Sin2 0/р2) (sin2 0) ф2. (147)
Из лагранжиана получаем следующие интегралы энергии и момента количества движения:
+Pt = (1 — 2Мг/р2) і + (2aMr sin2 0/р2) ф = E = const, (148) —Ap = — (2aMr sin2 0/р2) і + (г2 + а2 +
+ 2a2Mr sin2 0/р2) (sin2 0) ф == Lz = const. (149)
j Кроме того, имеются еще интегралы (ср. с уравнениями (37))
2р2 (к • 1) (к • п) — г21 k I2 = K9 (150)
2p2(k-m)(k-m) + a2cos20|k|2 = К, (151)
тдеї, п, m и m — базисные изотропные векторы. Интегралы (150) и (ISl) можно рассматривать как независимые, поскольку это предполагает сохранение величины | к |2. Как обычно, положим
I k I2 = 8, = 1 (152а)
для времениподобных геодезических и
I k I2 = S1 = 0 (1526)
для изотропных геодезических. В нашем случае
V = (U К ё, ф). (153)
72
Глава 7. Геодезические в продтранстве-времени Reppd
Явный вид интегралов (150) и (151) в геометрии Керра можно найти, воспользовавшись выражениями из гл. 6 (уравнения (173)) для изотропных базисных векторов:
(1/А) [Аі — (аА sin2 0) ф ]2 — (р4/А) г2 — Ьгг2 - /С, (154)
[(a sin 0) і — (г2 + а2) (sin 0) ф J2 + р402 + бга2 cos2 Q = K. (155)
