Математическая теория черных дыр Часть 2 - Чандрасекар С.
Скачать (прямая ссылка):
С другой стороны, из уравнений (148) и (149) следует, что
(,a sin 0) і — [(г2 + a2) sin 0 ] ф =аЕ sin 0 — Lz cosec 0, (156)
At — (aA sin2 0) ф - (г2 + a2) E — aLz. (157)
Подставляя эти выражения в уравнения (154) и (155), получаем следующие уравнения:
(1/А) [(г2 + a2) E - aLz ]2 - (р4/Л) г2 — бгг2 - K9 (158)
(аЕ sin 0 — Lz cosec 0)2 -)- р402 + бга2 cos2 0 = /С, (159)
которые можно переписать иначе:
рЧ2 = [(r2 +а2) Е _ aLJ2 _ Д (біГ2 + Jqt (160)
р402 = — (аЕ sin 0 — Lz cosec 0)2 -j- (—бха2 cos2 0 + /С). (161)
Уравнения же (156) и (157) дают дополнительную пару уравнений р2/ - (I2E — 2aMrLz)IA, (162)
р2ф = (1/А) [2аMrE + (р2 — 2Mr) Lz cosec2 0]. (163)
Теперь уже очевидно, что решение уравнений геодезических сводится к квадратурам.
В дальнейшем окажется полезной следующая форма записи уравнения (161):
= [к — (L2 — аЕ)2 ] — Ia2 (6i — E2) + LI cosec2 0 ] cos2 0.
(164)
а. Разделение переменных в уравнении Гамильтона — Якоби и альтернативный вывод основных уравнений. Как уже указывалось, существование четвертой сохраняющейся при движении вдоль геодезической величины было впервые доказано Картером, когда он продемонстрировал возможность разделения переменных в уравнении Гамильтона — Якоби. В то время это открытие оказалось полной неожиданностью и навело на мысль, что и другие уравнения математической физики должны допускать разделение переменных. Так оно и оказалось в действительности, как мы увидим ниже в гл. 8—10. Мы считаем полезным показать, следуя Картеру, возможность разделения переменных в урав-
62. Общее уравнение геодезических
73
нении Гамильтона — Якоби как первое звено в цепи замечательных свойств геометрии Керра.
Уравнение Гамильтона — Якоби, описывающее движение вдоль геодезической в пространстве-времени с метрикой g*/, имеет следующий вид:
2 -4р- = gl> -Д- - Д-, (165)
д* дх1 дх> '
где 5 — функция Гамильтона. Подставляя сюда коэффициенты метрики Керра (гл. 6, уравнение (135)), получаем
2# = (2VA)(^)4(4aM^A)^^-
- [(А - a2sin20)/p2Asin20] (^)2 - (Д/р2) (-f-)2 - (1/р2) (^)'.
(166)
Удобно переписать это уравнение следующим образом:
2 ~§Г = (1/Р2 А) [(г2+«2)^+«-Ц-]2-
- (!/P2Sin2Q) [asin20 ". + ^]2 - (А/Р2)(-§-)2 - (1/Р2)
(167)
Предполагая, что переменные могут быть разделены, будем искать решение уравнения (167) в виде
S = VAt -Et + Lzф + Sr (г) + S0 (Є), (168)
где Sr и Se — функции только указанных нижним индексом переменных. Теперь уравнение (167) принимает вид
61р2 = (1/А) [(г2 + a2) E- aLzf - (1/sin2 0) (аЕ sin2 0 - Lzf -
-ЧтгМт^У- <l69>
С помощью тождества
(аЕ sin2 0 — Lz)2 cosec2 0 = (LI cosec2 0 — а2Е2) cos2 Q+ (Lz- aEf
(170)
уравнение (169) может быть переписано следующим образом: { A (-^-)2 - (1/А) [(г2 + a2) E - aLzf + (Lz - aEf + V2} +
+ (-?-)2 + (LI cosec2 0 - а2?2) cos2 0 + 6,а2 cos2 0 J = 0. (171)
74
Глава 7. Геодезические в пространстве-времени Керра
Возможность разделения переменных теперь очевидна, и мы имеш
Л (-?")2 = WA) t(r2 + a2) E - aLzf -[QJr (L1 - аЕ? + V2].
(172>
(-??- )2 = Q - (LI cosec2 6 - + 6,о2) cos8 0, (173)
где Q — постоянная разделения. Вводя сокращенные обозначения
R = [(г2 + a2) E - aLz]a — Д [Q + (Lz - аЕ)9 + 6аг8], (174)
0 = Q - [а2 (6, - E2) + L2z cosec2 0] cos2 0, (175)
мы можем следующим образом записать решение для функции 5:
г 0
S = V2SiT -Et+ LxФ + J Rif2 (г) A-1 dr + J 0»/2(0)de. (176)
Основные уравнения движения могут быть получены из решения (176) для 5 стандартной процедурой приравнивая нулю частных производных функции S по различным постоянным интегралам движения (#, 8Ь E и Lz в нашем случае). Действительно, уравнение
-Ц- = V2 J A-1R-1/2 dR/dQ dr + V2 j 0-1/2 dQ/dQ d0 = О (177) приводит к соотношению
г в
Jdr = J ©—‘/2 d0, (178)
а равенство нулю других частных производных приводит к соотношениям
Г 0 -
T = J (гуя1^) dr + a2 J ©-'/2 cos20 d0, (179)
Г 0
/ = Va J Д-1Я-1/2 ORIdE dr + V2 J в~1/2 OQldE d0 =
Г
= хЕ + 2М j г [г2? - a (Lz - аЕ)\ Д->/?->/2 dr, (180)
г 0
Ф = -V8 J Д-і#-і/2 dR/dLz dr - V2 J ©-1/2 OQIdLz d0 =
Г 0
= a j [(г2 + a2) E- aL?] A-iR-'/2 dr + J (Lz cosec2 0 - аЕ) 0-1/2 d0,
(181)
63. Изотропные геодезический 7S
которые получаются после упрощения с использованием уравнения (178).
Теперь нетрудно проверить, что уравнения (178)—(181) полностью эквивалентны системе уравнений (160)—(163), если положить
Q = К —(Lz- аЕ)*. (182)
В частности, при таком отождествлении постоянных правые части уравнений (160) и (164) совпадают с определениями вели* чин R и 0 в уравнениях (174) и (175) соответственно, а соотношение (178) является очевидным следствием уравнений (160) и (164). Наши основные уравнения теперь принимают вид:
р *r2 = R; P4IJ2 = 0, (183)
р2ф = (1/А) Г2aMrE + (р2 — 2Mr) L cosec* 0],
рЧ = (1/Д) (Ъ2Е — 2аМгЬг), (184)
где R = ?V + (а2?2 ~ LI-ф г2 + 2Mr [Q + (Lz - аЕ)2] -
-a*Q- б^Д, (185)
© = QJt (агЕ2 -LI cosec2 0) cos2 Є -6ia2cos2 Є. (186)