Математическая теория черных дыр Часть 2 - Чандрасекар С.
Скачать (прямая ссылка):
Удобно собрать вместе различные формулы для тензорных и тетрадных компонент 4-вектора импульса. Имеем
—pr = (p2/A)pr = R42I А\ —рв = p2pQ = 01/2,
pv = (2aMr sin2 0/р2) Pt — (г2 + a2 + 2a2Mr sin2 0/р2) (sin20) = -Lzt
(187)
Pt = (I — 2Mr/p2) р* 4- (2aMr sin2 0/р2) рч — Е\
pv) — p(t) = e~v (E — <oL2) = e+vp{,
p(r) — —p{r) = —e~»*pr = -\-e+»*pr, (188)
р(Є) = —pm = —g-Из рв = g+ИзрЄ,
p( ч» = —р(ф) = = — = e~^Lz.
63. Изотропные геодезические
При рассмотрении орбит общего вида, не лежащих в одной плоскости, ограничимся описанием проекции этих орбит на плоскость (г, 0), поскольку зависимость от координат і и ірпо сути такая же, как и для орбит в экваториальной плоскости.
Для изотропных геодезических бх = 0, и поэтому удобно уменьшить число параметров, вводя комбинации
\ = LzIE, л = QIE2. (189)
%
Глава 7. Геодезические в пространстве-времени Reppa
Кроме того, вместо RIE2 и QIE2 будем писать R и 0:
# ,4 + (а2 - I2 - Ti) г2 + Ш [r\ + (I - а)2] г - а\ (190)
0 = ц -fa2 cos2 0 — ?2 ctgfi 0. (191)
Единственный Параметр — прицельный параметр D1 с по* Мощью которого классифицировались орбиты для изотропных геодезических в экваториальной плоскости, теперь заменяется двумя параметрами I и т). Параметры I и к) связаны с «небесными координатами» аир объекта, которые фиксируются наблюдателем на бесконечности, очень простыми соотношениями. С помощью выражений (188) получаем следующие соотношения:
a = {rpw/pV'jr^oo = I cosec 0О,
р = (rpW/pW)r+оо = (г] + a2 cos2 Q0-?2ctg2 0О)1/2 == (192)
где O0 — угловая координата наблюдателя на бесконечности. Координата a — видимое расстояние от источника света до оси симметрии в направлении, перпендикулярном лучу зрения, а координата P — видимое расстояние от источника света до его проекции на экваториальную плоскость в направлении, перпендикулярном лучу зрения.
Проекция орбиты на плоскость (г, 0) описывается уравнением
г 0
Jfl-1Z2Clr = J 0-^2(10, (193)
ri ei
где rt и 0* — некоторые заданные начальные значения коорди-'нат г и 0. Следует также заметить, что, хотя знаки R1/2 и 01/2 могут быть выбраны независимо друг от друга, необходимо строго придерживаться сделанного однажды выбора.
а. Движение по координате 0. Рассмотрим сначала движение по координате 0, определяемое интегралом от 0~1/2 в уравнении (193), поскольку уже это позволит нам получить некоторую информацию о характере орбит. Действительно, требование неотрицательности функции 0 накладывает ограничения на постоянные ? и г):
г) (а — I)2 0. (194)
Это неравенство становится очевидным, если записать функцию 0 в виде
0 = т] -f (а — I)2 — (a sin 0 — I cosec 0)2. (195)
Удобно заменить переменную 0 переменной = cos 0 и вместо интеграла по 0 в уравнении (193) рассматривать интеграл
/ц = j0-1/2dH, " (196)
63. Изотропные геодезические
77
где
©и — *1 — (I2 +11 — а2) ц.2 — Cppi. (197)
Поскольку
j г, при И = 0, 9<п/2,
I-^2C о при Ji=I, 0 = 0, {iW)
нужно отдельно изучать случай г) > 0 и т] < 0. Если к\ > 0, то из условия Qvl^O следует, что JLi2 должно быть в пределах между JJt2 = 0 И некоторым значением ^max, Т. е. 0 с \l2 < Umax, если же Г) < 0, ТО 0 < < [I2 < ^2 < 1 (ПРИ этом не исключено,
что такой интервал вообще не существует). Другими словами, в случае г] > 0 орбиты будут пересекать экваториальную плоскость и симметрично осциллировать около нее, а в случае г] < 0 орбиты не могут пересекать экваториальную плоскость и полностью лежат внутри конуса, причем и ось симметрии (0 = 0), и ортогональное к ней направление (0 = я/2) лежат вне этого конуса. Случай т] = 0 нужно исследовать отдельно.
Нетрудно выписать сразу же явные выражения для интеграла Ivl во всех трех случаях: г| > 0, г) = 0 и г| < 0. Имеем
1) г] > 0: 0ц = a2 (ці. + ц2) (и4 — H-2) (0 < H2 « И+)- (199)
где
& - (1/2а!) Ilft2 + я - <?? + 4Л]Г - (!’ + Ч - <¦%
IiL = (IIiar) |[(|2 + „ - аГ + 4Л,Г + (Г + Ч - я’)].
следовательно,
Mi +
J 0-1/2ф = а (и+ + (А—)~1/2/7(4>, k), (201)
U3 = ц+/(ц4 + и-L), COSij) = ц/ц+.
вц = (а2 — І2) (0 « H-2 < Umax), (202)
Umax = I — 12/Я2 (I ^l2 < I CL |2),
(200)
2) T1 = 0:
где
следовательно,
^max
I 0^1/2dfi= - (а2 -?)-'* Arch(^max). (203)
і*
3) г] < 0:
0ц = а2 (ц.2 — Ц-) (и4 - I^2) Oa- < H2 < M-+). (204)
|4 = (І/2Й2) I (| ч I + O2 - і2) ± [(I ч I + а1 - I2)2 - 4а21 ч |Г1.
(205)
78
Глава 7. Геодезические 6 пространстве-времени Керра
следовательно,
и
j вц1/2ф = (l/a(x+)f (t|), к), (206)
ц-
где
k2 = (р4 - jaL)/^, IТ] I < а\
0 < |?| < I^l — |г) |1/2, Sin У = [ц+ (ц2 - ц!-)/ц2 (|д.+ — fA-)]1/2-
В уравнениях (201) и (206) F (гр, k) обозначает эллиптический интеграл Якоби первого рода.
б. Главные изотропные конгруэнции. Из уравнений (194) и (195) следует, что случай
г) + (а - I)2 = 0 (207)
отличается тем, что условие Olll ^ 0 выполняется, только если
G = G0 = const, ? = a sin2 G0, (208)
причем при 0 = G0 ©ц = 0. Из уравнения (207) теперь вытекает.,
