Математическая теория черных дыр Часть 2 - Чандрасекар С.
Скачать (прямая ссылка):
что
т] = —a2 cos4 G0. (209)
Подставляя эти значения g и ц в уравнение (190), находим
Я = (г2 + a2 cos2 G0)2?2, (210)
где мы восстановили опущенный прежде множитель E2. Из уравнения (183) теперь получаем
г = ±Е. (211)
Подобным же образом из уравнений (184) находим
ф - аЕ/А, і = (г2 + a2) EIA. (212)
Следовательно, эти специальные изотропные геодезические описываются уравнениями
ТГ = ±?’ TT=0' TT = Tfi- <213>
Полученные уравнения определяют бессдвиговые изотропные конгруэнции, которые были использованы в гл. 6 (§ 56) для построения изотропного базиса при описании пространства-времени Керра в формализме Ньюмена — Пенроуза и доказательства принадлежности этой метрики к типу D по классификации Петрова.
в. Движение по координате г. Обратимся теперь к изучению радиального движения, определяемого интегралом от R~l/2 в уравнении (193).
63. Изотропные геодезические
79
Как и в случае орбит, лежащих в экваториальной плоскости, рассмотренных в § 61, существуют орбиты, которые пересекают горизонт событий, и орбиты, не пересекающие горизонт. Для орбит в экваториальной плоскости это различие определялось тем, меньше или больше прицельный параметр D некоторого критического значения Dc, причем орбиты с прицельным параметром, в точности равным Dc, представляли неустойчивую круговую орбиту. Подобным же образом, в рассматриваемом общем случае различие определяется тем, лежат ли значения интегралов движения I И Г) по одну или по другую сторону от некоторого критического геометрического места точек (Is, г\8) В ПЛОСКОСТИ (?, Г)), причем орбиты, интегралы движения вдоль которых лежат на самом геометрическом месте точек, являются неустойчивыми сг = const. Геометрическое место точек (Is, Tjs) играет в общем случае ту же роль, что и прицельный параметр Dc для орбит в экваториальной плоскости.
Неустойчивые орбиты постоянного радиуса описываются уравнениями
# = Г4 + (а2 _ ?2 _ ^ r2 +2M [Tl + (I — а)2] г — а\ = О,
(214)
dR/dr = 4г3 + 2 (а2 — ?2 — ц) г + 2M [rj + (I — a)21 = 0, (215) откуда следуют соотношения
3r4 + r2Q2 _ п (Г2 _ а2) = г2|2> . (216)
г4 — a2Mr + Г] (а2 — Mr) = Mr (?2 — 2а%). (217)
Эти уравнения можно разрешить относительно | и г|. Действительно, исключая параметр г), получаем
а2 (г — M)l2 — 2аМ (г2 — a2) I —
— (г2 + а2) [г (г2 + а2) — M (3г2 — а2) ] = 0. (218)
Дискриминант получившегося квадратного уравнения равен
а2г2 Д2, (219)
следовательно, решение уравнения (218) имеет следующий вид: I = [М (г2 — а2) ± гAVa (г — М). (220)
Если в решении (220) выбрать верхний знак, т. е. если
1 = (г2+а2)/а, (221)
то из уравнения (216) находим следующее решение для г):
г) = — гЧа2. (222)
Полученные решения для I и г| удовлетворяют соотношению
T1 + (а — I)2 = О, (223)
80
Глава 7. Геодезические в пространстве-времени Керра
которое несовместимо с нашим требованием, чтобы орбита не лежала в экваториальной плоскости, поскольку в п. 63, б было
показано, что это соотношение приводит к условию 0 = const.
Следовательно, в уравнении (220) нужно выбирать нижний знак.
Имеем поэтому
I = [М (г2 — а2) —
—гА)/а (г — М), (224)
ц = г3 Ha2M — г (г —
— 3M)2]!а2 (г — M)2 =
= г3 HMA — г (г —
-MfVa2 (г-Mf. (225)
Эти уравнения определяют в параметрическом виде геометрическое место критических точек (Se> %) (рис. 34).
В п. 63, а мы видели, что характер орбиты зависит от того, больше, равна нулю или меньше нуля величина г|. Мы должны, следовательно, различать эти три случая. Из уравнения (225) следует, что ц = 0, когда
4а2М = г (г — 3M)2, (226)
следовательно, когда
±2аМ1Z2 = г3/2 — 3 Mr1/2. (227)
Ho это уравнение совпадает с уравнением (124), которое определяет радиусы неустойчивых круговых фотонных прямых и обратных орбит, лежащих в экваториальной плоскости. Обозначим радиусы этих неустойчивых фотонных орбит /рГ и Tphj: Тогда ясно, что
Tl>0 при r\>y <r<r{fh\
Ti==O при г = г$\ г = г?ь\ (228)
Г]<0 при г+<г<г$\ r>r?h}.
Решения для движения по координате 0, соответствующие трем случаям, приведенным в (228), были даны в п. 63, а. Из этих решений следует, что не существует орбит постоянного радиуса при ті < 0, поскольку, чтобы величины jLij_, определенные уравнением (205), были положительны, необходимо вьіподнеци^ HQ-
Рис. 34. Геометрическое место точек (?s, T]s), определяющее интегралы движения трехмерных орбит постоянного радиуса вокруг черной дыры Керра с а = 0,8. Единица длины вдоль оси абсцисс равна М.
63. Изотропные геодезические
81
равенств Oclca — I т] |1/2 и | г] | < а2, а эти неравенства (как легко проверить) не могут быть удовлетворены при значениях I и ц, задаваемых уравнениями (224) и (225).
Важно также отметить, что при г) = 0 орбиты целиком лежат в экваториальной плоскости, потому что в этом случае из уравнения (216) следует, что I2 = 3г2 -f- а2, а это в точности совпадает с уравнением, приведенным в сноске к уравнению (82) (напомним, что E (= LJа) имеет тот же смысл, что и D (— L/а) ранее).
