Математическая теория черных дыр Часть 2 - Чандрасекар С.
Скачать (прямая ссылка):
Вернемся теперь к исследованию движения по координате г. Пусть I и г) принимают значения Is и t]s, соответствующие орбите постоянного радиуса г8, т. е. пусть ?, и r\s — значения, определяемые уравнениями (224) и (225) для г = г8. При таком выборе постоянных движения г. есть двойной корень уравнения R = 0, и можно показать, что функция R сводится к виду
R = (г- rs)2 (г2 + 2rrs - a2r\s/rl), (229)
а интеграл, который мы должны рассматривать, равен
J R~l/2 Ar = J (г — rs)~l (г2 + 2rrs — а\/г1)~'/2 Ar. (230)
Из этого уравнения следует, что траектория состоит из двух частей: внешней и внутренней относительно г = rs. Поскольку Tis > 0, эта траектория будет обрываться прежде, чем достигнет г = 0, потому что больший из двух корней уравнения
г2 + 2 гг S — a2r\s/rt = 0, (231)
равный
—rs + (г! + а\/г2$У12 = — гs + 2 (М Ars)1/2/(rs — М), (232)
положителен и, как можно показать, меньше rs при условии
а2 < M2.
Полагая теперь
X = (г- г,)-1 (233)
и вычисляя интеграл (230), получаем уравнение для проекции орбиты на плоскость (г, 0 = arcos н)
J е,Г1/2 <іц. = ±с-1/2 In (2 [с (I + 4rsx -f cx2)]I/2 -f 2сх + 4rs}, (234) с = Zrl-c?x\s/r\ (>0). (235)
Интеграл по (J, в правой части уравнения дается выражением (201).
Примеры траекторий, вычисленных на основе уравнения (234), показаны на рис. 35.
Хотя мы рассмотрели только такие орбиты, для которых интегралы движения лежат на геометрическом месте критических точек (is, t|s), ясно, как они должны выглядеть и в общем случае,
§ Чандрасекар С.
82
Глава 7. Геодезические в пространстве-времени Керра
rs = 3,75, r\8 = 4,9087; в — rs = 3,0, r\s = = 27,0. Эти орбиты не достигают сингулярности. Единица длины вдоль осей координат равна M1 а параметр решения Керра а равен 0,8.
когда значения интегралов движения сосредоточены с той или с другой стороны от этой"критической кривой: две части траектории по мере приближения к сфере г = rs с одной или с другой стороны будут или разделяться на две несвязные части (которые мы назвали орбитами первого и второго рода), или объединяться в одну непрерывную траекторию.
П р едста вл я ет и нтер ес случай г] = 0. Как мы видели, орбиты постоянного радиуса г = г±ъ при т] = 0 лежат целиком в экваториальной плоскости. Все орбиты в экваториальной плоскости также характеризуются равенством нулю постоянной Картера. Ho не все орбиты с т] = 0 лежат в экваториальной плоскости, потому что при Ї] = 0 движение по координате г в общем случае определяется интегралом (ср. с уравнением (214))
= J {г[гЗ +
+ (а2 — I2) г + 2M (а —
-S)2]}-l/2dr, (236)
а движение по координате 0 определяется уравнением (203). Интеграл (236) можно свести к эллиптическому интегралу Якоби, и, следозз*
JffiWTgg.
S3. Изотропные геодезические
83
тельно, траектории в плоскости (г, 0) описываются уравнением
(а2 - I2)-*/2 Arch (ц/iw) - ± (AB)-W F (i|>, k), (237)
где
Umax = (I - |V)1/2, к* = [(A + Bf - ГІЇ/4АВ,
COS ф = [(А — В) г H- /чЛ]/[(Л + В) г + ггА\9 Л* = г? + (в’-6»), 52 = Зг? + (а2 - I2), гг = — [Vs (а2 — 62)]1/2 sh О, sh 30 = [27M2 (а - ?)/(а + ^)3]1/3.
Эти траектории существуют только при I < а. Для орбит в экваториальной плоскости ограничение ? < а эквивалентно ограничению!) с а (см. определения D и ? в уравнениях (73) и (189)). Существование трехмерных орбит с rj = О и I < а — это проявление неустойчивости орбит с прицельным параметром D < а, лежащих в экваториальной плоскости. Ясно также, что все эти траектории обрываются в сингулярности и не имеют естественного продолжения в область отрицательных значений г (см. рис. 36, на котором показаны примеры траекторий, вычисленных на основе уравнения (237)).
Наконец, рассмотрим класс орбит с rj < 0. Эти орбиты интересны потому, что они естественным образом продолжаются в область отрицательных значений г, делая ^гем самым расширение многообразия физически необходимым. Однако условия появления таких орбит очень жесткие: | т] | < а2 и 0<|?|< < I a I — I г] |1/2. Уравнения движения вдоль таких траекторий по координатам г и 0 были численно проинтегрированы Г. Туми и результаты показаны на рис. 37.
г. Случай а = М. Хотя мы и решили (вопреки общепринятому мнению) не уделять специально внимания исследованию предельного случая а — М, в данном разделе мы кратко рассмотрим соотношения, полученные в предыдущем разделе, в пределе a = М. (Напомним, что в п. 61, б, обсуждая уравнение (142),' мы уже отметили неприемлемость координаты г для описания
-2-І
Рис. 36. Пример изотропной геодезической с ц = 0 в плоскости (г, 0). Это единственный тип орбит, не лежащих в экваториальной плоскости, которые обрываются в сингулярности. Единица длины вдоль координатных осей равна M1 а параметр Керра а равен 0,8.
Глава 7. Геодезические в просИгранстве-врёмени Керрй
Рис. 37. Два примера орбит с отрицательным значением т), которые продолжаются в область отрицательных значений г: а — т] = = —0,3 и g = —0,05; б — г] = —0,3 и ? = = —0,07. Угловая координата 0 для этих орбит заключена в пределах между Omln и Gmax- Хотя в плоскости (г, 0) эти орбиты проходят через нуль, они в действительности не проходят через сингулярность: в координатах Керра—Шилда (рис. 25) они плавно проходят сквозь диск, обходя сингулярность. (Параметр Керра а выбран равным 0,8.)
