Математическая теория черных дыр Часть 2 - Чандрасекар С.
Скачать (прямая ссылка):
Предыдущие уравнения интересуют нас лишь постольку, поскольку они связывают направление вектора f, задаваемого какой-либо физической теорией, в некоторой точке вблизи черной дыры с направлением вектора f на бесконечности. Поэтому достаточно рассмотреть асимптотики решения уравнений (248)-(250).
Из уравнения (251), как можно показать, получаются следующие асимптотики компонент вектора к:
kr.+ 1, #_>1,
k:0 -> р/r2, -> (Цг2) cosec2 0О, (252)
где
P2 = tI + я2 cos2 0О — I2 ctg2 0О (253)
(ср. с уравнением (192)). Поскольку вектор f определен лишь с точностью до слагаемого, пропорционального изотропному вектору к, можно без потери общности положить
f* = 0. (254)
Условие ортогональности (250) теперь дает
—гЩ» — krfr — г2Sln20О&Ф/Ф = 0 (г-*- оо), (255)
откуда получаем, используя уравнения (252):
fr = -P/0 - ?/ф. (256)
Подобным же образом из уравнений (248) и (249) следуют асимптотики
Г +a sin2 0о/ф = Zfjr-*, (257)
[г2 (fc0/0 - #»/*) - a/0] sin O0 = Kir-1. (258)
Исключая с помощью уравнения (256) компоненту /г из уравнения (257) и подставляя выражения для компонент /ге и /еф из уравнений (252), получаем
-P/0 — (1-а sin2 0О) /ф = К2г~\ (259)
І (I cosec 0О — a sin 0О) /е — P sin 0О/Ф = Kxr~x. (260)
Вводя обозначение
г у = % cosec 0О — a sin 0О, (261)
ійолучаем
I р/0 + Y sin б»/* = —К2г~', v/e — P sin 0О/Ф = + КіГ~1. (262) |?«шая эти уравнения относительно /0 и /ф, находим Ii /ф sin 0О = — (PZC1 + уК2)/гф2 + V2)-, -
I /9 = -(P^-Y/Ci)/r(P2 + f). W
88
Глава 7. Геодезические в пространстве-времени Керра
Если обозначить через ^f0 и <?Гф компоненты вектора напряженности электрического поля S в поперечной плоскости, которая определяет состояние поляризации на бесконечности, то
= —г sin G0^, <Г0 = —г/0, (264)
и из уравнений (263) следует, что
«Гф =: (Pzc1 + Т/С2)/(Р2 + Y2), - уK1VW2 + Y2).
(265)
Выбором нормировки вектора & нетрудно добиться выполнения соотношения
K21 + Kl = 1. (266)
В этом случае (^Гф, ^f0) — единичный вектор в поперечной плоскости, определяющей состояние поляризации, причем пара-
метры Стокса (нормированные на единичную интенсивность), обычно используемые для описания состояния поляризации, могут быть легко выражены через вектор (<?Гф, ^f0).
64. Времениподобные геодезические
При исследовании времениподобных геодезических в уравнениях (185) и (186) можно положить S1 = 1, и уравнение, определяющее проекцию геодезической на плоскость (гу 0), снова имеет
вид
г 0
= J @-1/2 d0, (267)
но теперь функции R и 0 определяются следующим образом: R =** г4 + (а2 — I2 — г]) г2 + 2M [ті + (I — а)2] г —
— а\ — г2МЕ\ (268)
0 = ті + а2 (1 — Е~2) cos2 0 — I2 ctg2 0, (269)
где і = LzIE, ті = QIE2, a E — энергия на единицу массы.
Мы здесь написали R и 0 вместо RIE2 и QIE2.
а. Движение по координате 0. Рассмотрим сначала движение по координате 0, определяемое интегралом от функции 0-1/2, и заменим, как и прежде, переменную 0 переменной ц = cos 0. Правая часть уравнения (267) тогда принимает вид
и
J 0*'%, (270)
где
% = Л — [|2 + 4- а2 (I — E-2) ] P2 — а2 (1 - Е~2) ц4. (271)
64. Времениподобные геодезические
Очевидно, нужно различать три случая: связанные орбиты с E2 < 1, переходные орбиты с E2 = 1 и несвязанные орбиты с E2 > 1.
В случае связанных орбит с E2 < 1 удобно заменить а2 выражением
о,2 = а2 (.Е~2 — 1) > 0 (272)
и записать функцию @ц в виде
©т = Л — (E2 + rI + a2) P2 + a2P4- (273)
Из этого выражения для Qli и требований, чтобы Otl ^ О и Oc 1, следует, что отрицательные значения rj запрещены, а область изменения ц.2 начинается от нуля и простирается до меньшего из двух корней уравнения
Л - (I2 + Л + а2) її2 + а>4 = О (л > 0). (274)
Интеграл (270) теперь может быть стандартным образом сведен к эллиптическому интегралу первого рода. Имеем
J @ц1/2с1ц. = a-1 J [((і+ - її2) (ц.1 - ц2)]_1/2(1ц = (а|х+)->^ (tp, k),
(275)
где
= (1/2а2) {(I2 + Ti + а2) ± [(|2 + ц + а2)2 - 4«^ ]»/*},
(276)
k = sin = |д./ц._. (277)
I Для переходных орбит с E2 = 1 получаем I ©и = Л - (I2 + Л) H2. (278)
И снова отрицательные значения rj запрещены, а соответствующий интеграл равен І
Г J 0|T1/2dfx = - (g2 + Г1)_1/Й arccos [ц (|2+ ri)1/2/r]1/2]. (279)
I
I В случае же несвязанных орбит с ?2 > 1 применимы результаты исследования изотропных геодезических в п. 63, а, если а2 |аменить выражением
I' а2 = а2 (1 — ?~2) > 0. (280)
I Итак, связанные и переходные орбиты должны с необходимостью пересекать экваториальную плоскость и осциллировать относительно нее, а несвязанные орбиты очень похожи на изо-(ропные геодезические: существуют орбиты с г] > 0, пересекающие экваториальную плоскость, орбиты с т] <0, не пересекающие экваториальную плоскость, лежащие внутри конуса и
90
Г лава I. Г еодёзачёскиё ё проШранствё-йремени Кёрра
продолжаемые в области отрицательных значений г, и существуют орбиты с Т] = 0.
б. Движение по координате г. Переходя к исследованию движения по координате г, определяемого интегралом от функции R-1/2, рассмотрим в соответствии с уже ставшей стандартной процедурой специальный класс ,орбит, которые не только представляют основу для их классификации, но и являются простыми орбитами, уравнения для которых легко интегрируются, и в то же время достаточно хорошо иллюстрируют общие особенности геодезических. В рассматриваемом случае этими специальными орбитами являются такие, для которых радиальная координата остается постоянной. Это осуществляется при условии выполнения следующих соотношений:
