Математическая теория черных дыр Часть 2 - Чандрасекар С.
Скачать (прямая ссылка):
х2 + у2 = (г2 + a2) sin2 0. (233)
Поверхности постоянного г являются ссфокуснымн эллипсоидами, главные оси которых совпадают с осями координат. Эти эллипсоиды при г = 0 вырождаются в диск
X2 у2 < а2, 2— 0. (234)
58. Структура пространства-времени Керра
39
Точка (г = 0, 0 = я/2) соответствует, таким образом, кольцу
X2 -f у2 = а2, 2= 0, (235)
и сингулярность вдоль этого кольца есть единственная сингулярность пространства-времени Керра.
Точки внутри кольца (235) имеют координаты г = 0, я/2 > >0>ОиО<ф< 2я. Поверхности постоянного 0 пересекают диск и выходят с другой его стороны, поэтому мы имеем право распространить область изменения г на все отрицательные
e=const 0=const
Рис. 25. Кольцевая сингулярность метрики Керра в экваториальной плоскости. Структура сингулярности проясняется, если метрика записана в «декартовых координатах» в виде (226), когда кривые постоянного г становятся софокусными эллипсоидами вращения, а кривые постоянного 0 — софокусными гиперболоидами. Аналитическое продолжение на все отрицательные значения г получается приклеиванием к диску (*2 + г/2 ^ a2; Z = 0) другого диска в карте (*', у\ Zf) и соответствующим отождествлением точек, которое описано в тексте и показано на рисунке. На рисунке показаны сечения у = 0 и у* = 0 плоскостей дисков.
значения. Другими словами, мы аналитически продолжаем функцию г, определяемую уравнением (227), на все отрицательные значения. Мы завершим это аналитическое продолжение тем, что введем вторую карту (х', у\ Ї) и отождествим точки на верхней части диска с координатами х и у в карте (х, у, г) с точками на нижней части диска, имеющими те же координаты, но в карте (х\ у*, г'). Подобным же образом отождествим точки на нижней стороне диска в карте (х, у, г) с точками на верхней стороне диска в карте (х\ у'у г') (рис. 25). Расширение первоначального многообразия в этом случае аналогично расширению комплексной плоскости до совокупности римановых поверхностей для представления аналитических функций, имеющих сингулярности.
В таком расширенном многообразии величина г в области A9 определенной неравенствами (232), может принимать любые отрицательные значения.
Метрика (226), продленная на все расширенное многообразие, имеет в карте (х', у\ Ї) тот же вид, что и в карте (х, у, г), за исклю-
40
Глава 6. Метрика Керра
чением того, что теперь ґ принимает отрицательные значения. Следовательно, в (х\ у', г')-карте члены в фигурных скобках в метрике (226) появляются с множителем +2УИл3/(л4 + a2z2). При больших отрицательных значениях г пространство снова становится асимптотически плоским, но с отрицательной массой в качестве источника.
Займемся теперь устранением координатных сингулярностей при г+ и г_. Поскольку в пространстве-времени Керра векторы 1 и п, определяющие главные изотропные конгруэнции, не ортогональны семейству гиперповерхностей, их нельзя использовать как основу для построения несингулярных координат, как это делалось при исследовании метрик Шварцшильда и Рейсснера — Нордстрема. Полезно поэтому поначалу ограничиться рассмотрением двумерного (г, ^-многообразия вдоль оси симметрии и показать, что природа горизонтов по существу та же, что и в пространстве-времени Рейсснера — Нордстрема, и что многообразие может быть расширено аналогичным образом.
На оси симметрии при 0=0 метрика Керра сводится к виду
As2 = (Д/(г2 + a2)) (dt - ((г2 + а2)/Д) Ar) (At + (г2 + a2) dr/A). (236)
Определяя изотропные координаты
и = t — г*, V = t + л*, (237)
где
г* = I (г2 + й2) dr/A = г +1(/-?- + а2)/(г+ — г_)] In | г — г+ | —
— [(rL + a2) I (г+ — MJ In I г — г_ |, (238)
получаем
As2 =[Д I {г2 + а2)] Au Av. (239)
Подстановка (237) относится к областям Л и С (ср. с уравнениями (46) и (48) гл. 5). В области В величина Д отрицательна, поэтому следует положить
U = г* + t, V = г* — t. (240)
При этом метрика принимает следующий вид:
As2 =[| A 11 (г2 -f а2)] Au Av. (241)
При таком выборе изотропных координат части многообразия
во всех трех областях могут быть представлены «блоками», изоб-
раженными на рис. 26. Границы блоков отождествляются указанным выше образом. Областям AiBnC соответствуют области А', В' и С', получаемые из первых преобразованием и -*—и и D _> «опрокидывающими» световые конусы. Максимальное аналитическое продолжение (л, ^-многообразия затем получается склеиванием вместе копий шести блоков без нарушения аналитичности, т. е. так, чтобы края блоков покрывались или (иу л)-картой, или (и, л)-картой (за исключением углов блоков). Результирующая
Г=Г-у V- + оо f= + oo
Jt=-Oо; /-=+оо U- +OO
T1=TLf f=-oo V= +00
Tj=ZV, Ґ= + °° 2/ = -ор
Г=CO; f= + oo Zf = +00
г= CO] /=-OO U=-OO
Овласть Л u=t-rt\ V= t+г*
Овласть 5 г. < г <г+ u=t+r*; тг=-t-^r4:
Овласть С г>г+
U=t-r„; zr=f+r*
Рис. 26. Различные области пространства-времени Керра вдоль оси 0 = 0. Объяснение см. в тексте.
55. Структура пространства-времени Керра
42
Глава 6. Метрика Keppa
Рис. 27. Максимальное аналитическое продолжение пространства-времени Керра для 0 = 0 получается путем склеивания блоков, показанных на рис. 26, аналогично тому, как это было сделано для пространства-времени Рейсснера—Нордстрема и показано на рис. 14.
