Математическая теория черных дыр Часть 2 - Чандрасекар С.
Скачать (прямая ссылка):
«лестница» показана на рис. 27; она может быть продолжена бесконечно в обе стороны.
Аналитическое описание максимально расширенного пространства-времени на оси симметрии может быть получено совершенно аналогично случаю пространства-времени Рейсснера — Нордстрема.
В областях AwC положим
tg U = —е~аи, tg V = +e+av, (242)
а в области В —
tg U = + е+аи, tg V = +?+аи, (243)
где
а = (г+ — г—)/2 (4 + а2), (244)
а и и V в подстановках (242) и (243) имеют то же значение, что
и в уравнениях (237) и (240). Теперь метрика принимает «уни-
версальный» вид
ds2 = —(4 I Д |/а2) cosec 2U cosec 2V dU dV, (245)
58. Структура пространства-времени Керра
43
где г определяется неявно уравненияіми
Выбор координатных осей вдоль изотропных геодезических на рис. 26 и 27 позволяет наглядно представить структуру пространства-времени. Ясно, что разделительная линия г = г+ является горизонтом событий, а линия г = г_ есть горизонт Коши. Смысл этих понятий был подробно выяснен в предыдущих главах.
Устранить координатные сингулярности в общем случае единым образом и в то же время получить максимальное аналитическое расширение полного многообразия гораздо труднее. Трудности возникают из-за того, что и координата t, и координата <р проявляют сингулярное поведение по мере приближения к горизонту вдоль изотропных (или времениподобных) геодезических (см. § 61). По этой причине простая замена координат, которая была бы удовлетворительной на обоих горизонтах одновременно, оказывается неосуществимой и мы вынуждены исследовать горизонт событий и горизонт Коши по отдельности.
Рассмотрим сначала преобразования координат, которые позволяют Гладко пересечь горизонт событий.
Начнем с того, что запишем метрику в виде (ср. с уравнением
ds2 = (Л/р2) (At — a sin2 0 d(p)2 — (sin2 0/р2) [(г2 + a2) d(p —а At]2—
где г* определена уравнением (238). Ho вдобавок вместо координаты ф введем новую угловую координату
где индекс « -J- » подчеркивает, что сейчас нас интересует гладкое пересечение горизонта событий. (Введение новой угловой переменной, зависящей от того, какой горизонт мы пересекаем, является существенной особенностью исследований, связанных с пространством-временем Керра.)
Делая замену переменной, получаем
At — a sin2 0 dф = [р\!(г\ -f а2)] At — a sin2 0 dф+ =
(217))
— (р2/Д) (dr)2 — р2 (d0)2, (248)
и положим, как и выше,
и — t Г*, V — t Г.Ji,
(249)
ф+ ^ ф — atl2Mr+,
(250)
[р2/2 (г\ + а2)] (Au + Av) — a sin2 0 dф+, (251)
где
9 9,9 9 Г\
р + = г+ + а- cos“ 0.
(252)
44
Глава 6. Метрика Keppa
Подобным же образом находим
(r2 + a2) d<p — a dt =(r2 + a2) d<p+ + [а(г2 — г\)І2(г\ + а2)] (dи + do),
(253)
dг =[Л/2 (г2 + а2)] (do — dи). (254)
Подставляя выражения (251), (253) и (254) в уравнение (248), после некоторых упрощений получаем
ds2 = (Д/2р2) [р*/(г2 + а2)2 + р4/(г2 + а2)2] dи do — р2 (d0)2 —
— (sin2 0/р2) [(г2 + а2) d(p+ + а ((г2 — г2)/2 (г2 + а2)) (dи -|- do)]2 —
— (а2 A sin2 0/4р2) [p2/(r; -f а2) + р2/(г2 + а2)] [(г2 — r2)/(r2 + а2) X X (г2 + а2)] [(dw)2 -+- (do)2] -f- (a A sin2 0/р2) [а sin2 0 dq>+ —
— р2 (da + do)/(г2 + a2)] dф+. (255)
Чтобы включить четыре соприкасающиеся области Г, ІГ, I и II на рис. 27 в одну координатную окрестность, определим, как и прежде, новые координаты
tg U+ = —е-а+и = —e-a+<e+a+r.,
tg ]/+ = -)-е+а+и = _|_е+а+<е+а+г»( (256)
а+ =(''+ — г_)12 (г2 +а2). (257)
Тогда
du = — (2/a+) cosec 2U+dU+, do = + (2/а+) cosec 2У+ dV1+. (258)
Подставляя эти выражения для da и do в уравнение (255), получим
метрику в требуемом виде, причем г задается неявно следующим уравнением в координатах U+ и V4.:
tg U+ tg V+ = —e2a+r I г — r+11 г — г_ |-Р+, (259)
где
Р+ = rjr+. (260)
Рассмотрим теперь подстановки, необходимые для гладкого пересечения горизонта Коши:
и = г* + t, о — r% t, (261)
ф. = Ф — at/2Mr_. (262)
Результирующая форма метрики может быть получена из уравнения (255) заменой индекса «+» индексом «—», а также d« на—do и do на du. Преобразования, аналогичные преобразованиям (256)—(260), имеют вид
tg U_ = <?+“-“ = е+а- tg К_ = e+a-v = е+а- (263)
du = (2/a_) cosec 2U_ d(/_, do = (2/a_) cosec 2V_ d V_,
a_ = (r_ - r+)/2 (rf + a2), (264)
58. Структура пространства-времени Керра
45
и г определяется неявно через U_ и
tg Umm tg V_ = е2а-' I г - г. 11 г - г+ |-Р-, (265)
где
P- =г+!г_. (266)
Нетрудно проверить, что метрика, записанная в координатах (?/+, V+) и ([/_, VS), аналитична всюду, кроме точек с сингулярной кривизной, где величина р2 становится равной нулю.
В гл. 7 будет показано, что в максимально расширенном многообразии все времениподобные и изотропные геодезические имеют бесконечную аффинную длину (как при продолжении в прошлое, так и при продолжении в будущее), кроме тех геодезических, которые обрываются в сингулярности; другими словами, расширенное пространство-время является геодезически полным.
а. Эргосфера. Помимо принципиального различия в структуре сингулярностей метрики Керра, с одной стороны, и метрик Шварцшильда и Рейсснера — Нордстрема — с другой, есть еще одна особенность, которая отличает метрику Керра от двух других
