Математическая теория черных дыр Часть 2 - Чандрасекар С.
Скачать (прямая ссылка):
метрик. Это различие связано с тем, что в пространстве-времени
Керра в отличие от пространства-времени Шварцшильда или Рейсснера — Нордстрема горизонт событий не совпадает с поверхностью
gtt = I- 2Mrlp2 = 0, (267)
или в более подробной записи
г2 — 2Mr + я2 cos2 0 = А — a2 sin2 0 = 0. (268)
Внешняя по отношению к горизонту событий поверхность
Г = Ге (0) = M + (M2 — а2 COS2 0)1/2, (269)
на которой становится равным нулю метрический коэффициенту, называется эргосферой. Она совпадает с горизонтом событий только на полюсах 0 = О и 0 = я.
Эргосфера — это поверхность стационарного предела в том смысле, что она является внутренней границей области, на которой мировая линия частицы At == О времениподобна. Этот факт становится ясным, если посмотреть, к каким следствиям приводит очевидное требование
где
I и(ф> I < 1;
U«p> = eU-v (Q _ ш)
(270)
(271)
46
Глава 6. Метрика Keppa
есть ер-компонента 3-скорости в ортонормированной тетрадной
системе отсчета, рассмотренной в § 52. Для геометрии Керра
неравенство (270) дает (ср. с уравнением (125))
I Q - CO I < *V-4> = р2 Д1/2/22§1/2. (272)
Отсюда следует, что
^max - со ± р2 A1Z-0ZS2S1/2 = (2аМг81/2 -Jb р2 №)№№. (273)
min
Тождества (119)—(121) позволяют переписать предыдущее выражение следующим образом:
д1/2 , й1/2
= ± P71-----1 ,/21„/, • (274)
min [(г + я ) ± а (Дб) ^ ] 6 7
В частности, снова используя тождества (119)—(121), получаем
О ________________^ <зб1//2_________________________А а26_______ /07с\
[(г* + а*)-а(А б)1/2] б1/2" Ip2A1'2 + 2аМг^^] б1/2 ’ К ’
Поскольку внутри эргосферы
А — аЧ < 0, (276)
заключаем, что
Qmin > о (277а)
внутри эргосферы и
Qmin - о (г = re (0)) (2776)
на самой эргосфере. Этот результат находится в согласии со сделанным выше утверждением, основанным на равенстве нулю метрического коэффициента gtt на эргосфере, что эргосфера есть поверхность стационарного предела.
Тот факт, что внутри эргосферы не может существовать стационарный наблюдатель, разумеется, не запрещает существование в этой области (ґ+ < г < ге (0)) времениподобных траекторий, которые могут уходить на бесконечность. Эта часть пространства, таким образом, имеет двустороннюю связь с внешним пространством. Ниже, в §65, мы увидим, что существование такой конечной области пространства между горизонтом событий и поверхностью стационарного предела ведет к важным следствиям: допустимы процессы, например так называемый процесс Пенро-уза, которые приводят к извлечению вращательной энергии черной дыры.
Библиографические замечания
47
В заключение выпишем для будущих ссылок выражение для площади поверхности горизонта событий:
л 2 п
Площадь поверхности = Jj (geegW)'=/-+ d0 d<p =
о о
JT 2 Jt
= Ij [(sin2 0/р2) {(г2 -f а2)2 — а2 A sin2 0 I p2]^r+ d0 dqj =
о о
= 4л (г2 + а2) = 8лМг+ = 8лM [М + (M2 — а2)1/2]. (278)
Библиографические замечания
Керр опубликовал свое открытие в виде короткого письма (датированного 26 июля 1963 г.)
1. Kerr R. P. Phys. Rev. Lett., 11, 237—238, September I, 1963 и сделал сообщение на семинаре несколько месяцев спустя (16—18 декабря 1963 г.):
2. Kerr R. P. In: Quasistellar Sources and Gravitational Collapse, eds. I. Robinson, E. Schuking, University of Chicago Press, Chicago, 1965, pp. 99—103.
Несмотря на малый объем, оригинальное сообщение удивительно полно перечисляет основные особенности решения. Ho в этом сообщении нет даже намека на способ получения решения, который был описан примерно два года спустя в работах
3. Kerr R. P., SchieldA. InrComitato Nazionale per Ie Manifestazioni Celebrative Del IV Centenario della Nascita di Galileo Galilei, Atti del Convegno Sulla Relativita Generale: Problemi Dell’Energia E Onde Gravitazionali, ed. G. Bar-bera, Florence, 1965, pp. I—12,
4. Kerr R. P., Schild A. In: Proceedings of Symposia in Applied Mathematics,
17, 199—209, American Math. Soc., 1965.
Однако авторы предупреждают читателя в работе [3], что «вычисления, приводящие к этим результатам, никоим образом нельзя назвать простыми».
§ 52. Литература, посвященная исследованиям стационарного аксиально-
симметричного пространства-времени обширна; об объеме библиографии можно судить по обзору
5. Kinnersley W. In: General Relativity and Gravitation, eds. G. Shaviv, J. Rosen, John Wiley and Sons, Inc., New York, 1975, pp. 109—135.
После написания этого обзора были достигнуты впечатляющие успехи. Ho здесь мы касаемся общей теории лишь в той степени, в какой это необходимо, чтобы создать основу для простого вывода решения Керра. Hfc
Хотя уравнения данного параграфа были получены в качестве частных случаев уравнений гл. 2, они по существу в том же виде содержались в работе
6. Chandrasekhar S., Friedman J. L. Astrophys. J., 175, 379—405, 1972.
Преобразование, названное нами преобразованием Папапетру, описано в ра-
ботах
7. Papapetrou A. Ann. d. Physik, (6) 12, 309—315, 1953,
8. Papapetrou A. Ann. d’l Iustitut Henri Poincare, Section A, 4, 83—105, 1966.
