Математическая теория черных дыр Часть 2 - Чандрасекар С.
Скачать (прямая ссылка):
§ 53. В этом параграфе мы в основном следуем работе
9. Chandrasekhar S. Proc. Roy. Soc. (London), А 358, 406—420, 1978. Уравнение Эрнста получено в работах
10. Ernst F. J. Phys. Rev., 167, 1175—1178, 1968,
И. Ernst F. J. Phys. Rev., 168, 1415—1417, 1968.
Cm. также
12. Xanthopoulos В. С. Proc. Roy. Soc. (London), А 365, 381—411, 1979.
§ 55. Основные работы, в которых исследовался вопрос о единственности Пространства-времени Керра, следующие:
48
Глава 6. Метрика Keppa
13. Carter В. Phys. Rev. Lett., 26, 331—333, 1972,
14. Robinson D. С. Phys. Rev. Lett., 34, 905—906, 1975.
Cm. также
15. Carter В. In: Black Holes, eds. C. De Witt, B. S. De Witt, Gordon and Breach Science Publishers, New York, 1973,
16. Carter B. In: General Relativity — An Einstein Centenary Survey, eds.
S. W. Hawking,11W. Israel, Cambridge, England, 1979, Ch. 6, pp. 294—369.
Доказательство теоремы Израэля (выведенной в настоящем параграфе как специальный случай теоремы Робинсона при более ограничивающих предположениях, чем в оригинальной работе Израэля) приведено в работе
17. Israel W. Phys. Rev., 164, 1776—1779, 1968.
§ 56. Для этого параграфа важной является работа
18. Kinnersley W. J. Math. Phys., 10, 1195—1203, 1969.
§ 57. Пространство-время «Керра—Шилда» было введено в работах [3, 4]. Основные идеи, использованные при изложении, взяты из работы.
19. Xanthopoulos В. С. J. Math. Phys., 19, 1607—1609, 1978.
§ 58. Основные работы по структуре пространства-времени Керра сле-
дующие:
20. Carter В. Phys. Rev., 141, 1242—1247, 1966,
21. Boyer R. //., Lindquist R. W. J. Math. Phys., 8, 265—281, 1967,
22. Carter В. Phys. Rev., 174, 1559—1570, 1968.
Координаты, в которых мы получили решение Керра, часто называют координатами Бойера—Линдквиста; они были введены в работе [21].
Глава 7
ГЕОДЕЗИЧЕСКИЕ В ПРОСТРАНСТВЕ-ВРЕМЕНИ КЕРРА
59. Введение
Эта глава посвящена изучению геодезических в пространстве-времени Керра. Необходимость выделения этого материала в отдельную главу вызвана несколькими причинами: помимо того что описание геодезических позволяет выявить существенные черты пространства-времени (например, уместность продолжения многообразия на отрицательные значения радиальной координаты г), открытая Картером возможность разделения переменных в уравнении Гамильтона — Якоби оказалась первым из того множества свойств метрики Керра, которые создали вокруг нее некий ореол чуда. Кроме того, изучение геодезических показывает возможность (впервые открытую Пенроузом) извлечения энергии из черной дыры Керра, выявляя таким образом процесс, о котором никто и не подозревал. В то же.время изучение геодезических пространства-времени Керра позволяет обнаружить некоторые общие и совершенно неожиданные свойства многообразий, принадлежащих типу D по классификации Петрова. Мы начнем изложение с установления одного из этих свойств.
60. Теоремы об интегралах геодезического движения в пространстве-времени типа D
по классификации Петрова
В гл. 1 (п. 9, в) было показано, что в пространстве-времени типа D по классификации Петрова главные изотропные конгруэнции являются геодезическими и бессдвиговыми и что в изотропном тетрадном базисе (I, n, m, т), в котором векторы 1 и п задают главные изотропные направления, спиновые .коэффициенты х, сг, Я и V, а также вейлевские скаляры 1F0, W1, 1F3 и W^ равны нулю:
x=(r=A,=v=0, (1)
^F0 = W1 = W3 = W, = 0. (2)
Если к тому же векторное поле 1 имеет аффинную параметризацию
(что мы и будем предполагать), то спиновый коэффициент є также
равен нулю:
е = 0, (3)
50
Г лава 7. Геодезические в пространстве-времени Керра
Наконец, из тождеств Бианки (гл. 1, уравнения (321)) получаем
следующие уравнения для не равного нулю вейлевского ска-
ляра 1F2:
D In Y2 = +Зр; б In Y2 = +Зт;
А In Y2 = —Зц; б* In Y2 = —Зя, ^
где D, Д, б и 6* — производные по направлению вдоль векторов 1, п, m и m соответственно.
Метрический тензор gtj, записанный через координаты векторов I, n, m и m в координатном базисе, имеет следующий вид
(гл. 1, уравнение (246)):
gij ~ Un j Un і ITlitTlj ITljtTliy (5)
а ковариантные производные векторов I, п и m равны (гл. 1, уравнение (357))
Ij, І = -Г (Y + t) Ijh - («* H- Р) Ijtni - (а + P*) hmi ~
— Xtfljli — T^rrijli 4- PIfljtni + P*т Jtfli] (6)
Я/; і = — (V + Y*) njli -г (а* + Р) nIfflC + (а + P*) піті +
-j- U^tfijni -f ^nijni — Ixnijtni — ji*tfijmi’y (7)
Щ\ / = +(7- Y*) ЩІі + (а* — Р) Щїїі + (Р* — а) ЩЩ +
+ я* Ijni — j'XHjmi — Tnj-Zi + pnjmt. (8)
(Предыдущие соотношения выполняются только в пространстве-времени типа D по классификации Петрова, поскольку при выводе их были использованы соотношения (1) и (3).)
Пусть киї — два произвольных вектора, тогда в соответствии с уравнением (5) имеем
k-f = gift f і = (к• I) (f • п) + (к• п) (f • 1) — (к• ш) (f • т) — (к• т) (f• т),
(9)
I к I2 = 2 [(к • 1) (к • п) — (к • т) (к • т)], (10)
k‘ V; = (k n) D + (к -1) Д — (кт) б — (кт) б*. (11)