Физика для углубленного изучения 1. Механика - Бутиков Е.И.
Скачать (прямая ссылка):
?п(Ч>) = mSl(l -cos 9)- (3)
Рис. 137. Маятник в поле тяжести ?п(<р) =mg/(l — cos <р)
График -Еп(<р) приведен в верхней части рис. 138. Минимум потенциальной энергии соответствует
устойчивому положению равновесия при <р = 0. Максимумы i точках ср = л и <р = — я соответствуют одному и тому же вертикальному перевернутому неустойчивому положению равновесш
Рис. 138. Потенциальная энергия и фазовая плоскость тяжелого маятника в поле тяжести
маятника. Точка массы т может двигаться только по дуге окружности радиуса /. Поэтому ее скорость v можно записать как
246
III. ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ
v = /со, где со = dy/dt — угловая скорость, а кинетическую энергию — как ml2со2/2. В отсутствие трения механическая энергия маятника Е сохраняется. Уравнение закона сохранения энергии имеет вид
+ mgl(\ — cos <р) = Е. (4)
Значение полной энергии Е определяется начальными условиями. Можно, например, возбуждать маятник, находящийся в нижнем положении, сообщая ему толчком некоторую начальную скорость v0. В этом случае Е = mvty2. Характер движения маятника зависит от значения этой полной энергии Е. Если Е превышает максимальное возможное значение потенциальной энергии Еп тах = 2mgl, маятник совершает непрерывное неравномерное вращение в одну сторону с периодически изменяющейся угловой скоростью. Если же Е < 2mgl, маятник совершает колебания около положения устойчивого равновесия, отклоняясь от него вправо и влево на одинаковые углы.
Фазовый портрет маятника. Наглядную картину возможных движений маятника дает фазовая плоскость, показанная в нижней части рис. 138, где по оси абсцисс отложен угол <р отклонения из равновесия, а по оси ординат — угловая скорость со. Непрерывному вращению маятника соответствуют незамкнутые фазовые траектории: верхняя траектория относится к вращению против часовой стрелки (в положительном направлении отсчета угла <р), а нижняя — к вращению по часовой стрелке. Видно, что при прохождении нижней точки ip = 0 маятник движется быстро, а в верхней точке — замедляется.
Замкнутые фазовые траектории соответствуют периодическим колебаниям около устойчивого положения равновесия. Изображающая механическое состояние точка обходит эти траектории по часовой стрелке вокруг точки О на фазовой плоскости, соответствующей состоянию покоя в положении устойчивого равновесия. В положении равновесия скорость максимальна. Она убывает по модулю по мере приближения к точкам поворота ± <рт, в которых потенциальная энергия сравнивается с полной. В этих точках скорость обращается в нуль, а направление движения маятника изменяется на противоположное.
Фазовые траектории, показанные на диаграмме жирными линиями, — это так называемые сепаратрисы, которые отделяют замкнутые фазовые траектории от разомкнутых. Уравнения сепаратрис получаются из (4), если положить там Е = 2mgl:
co(ip) = ± ^2 у (1 + cos <р) = ± 2Щ cos ¦?. (5)
§ 38. ФАЗОВАЯ ПЛОСКОСТЬ. АДИАБАТИЧЕСКИЕ ИНВАРИАНТЫ 247
Точка, изображающая механическое состояние системы с полной энергией Е = 2mgl, движется на фазовой плоскости по сепаратрисе. Подходя, например, к точке А, соответствующей перевернутому положению маятника, она постепенно замедляется и в точке А «застревает» — останавливается в положении неустойчивого равновесия. Формально приближение к этому состоянию в отсутствие трения продолжается бесконечно долго. Из точки А выходят две фазовые траектории в соответствии с тем, что застывший в неустойчивом положении равновесия маятник может «свалиться» в любую сторону.
• Нарисуйте схематически график потенциальной энергии вместе с фазовой диаграммой для шарика, поочередно отражающегося от параллельных вертикальных стенок. Какой смысл имеет то обстоятельство, что соответствующая потенциальная яма имеет бесконечно высокие стенки?
• Каким положениям маятника соответствуют значения ip = ± л, ± Зл, ±5л, ... и ip = ±2л, ±4л, ... фазовой диаграммы на рис. 138?
• Покажите, что по замкнутым фазовым траекториям на рис. 138 изображающая точка движется по часовой стрелке.
• Объясните, почему уравнения сепаратрис (5) получаются из закона сохранения энергии (4), если положить в нем E = 2mgl.
• Через каждую точку фазовой плоскости проходит, как правило, только одна фазовая траектория, что соответствует механическому детерминизму: задание состояния в какой-либо момент времени однозначно определяет дальнейшее движение системы. Какой смысл имеют точки фазовой плоскости (например, точка А на рис. 138), которые не удовлетворяют этому условию?
• Проходят ли фазовые траектории через точку О на рис. 138?
Д Адиабатические инварианты. Изменение параметров физической системы всегда сопровождается изменением некоторых характеристик ее движения. Например, изменение длины маятника настенных часов приводит к изменению периода его колебаний, что используется для регулировки точности хода часов. Особый интерес представляет случай, когда изменение параметров системы происходит непосредственно во время ее движения.
