Физика для углубленного изучения 1. Механика - Бутиков Е.И.
Скачать (прямая ссылка):
Оказывается, что в физической системе существуют характеристики, которые остаются почти постоянными при медленном, как говорят, адиабатическом изменении ее параметров. Такие величины, сохраняющиеся с большой точностью при медленном изменении параметров системы, называются адиабатическими инвариантами. Условие адиабатичности изменения параметров можно записать в виде TJT2« 1, где Т1 — характерный для системы период, а Т2 — характерное время изменения ее параметров.
248
III. ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ
Как находить адиабатические инварианты и как определять точность, с которой они сохраняются? Решение этих вопросов представляет собой одну из красивейших и еще незавершенных областей физики. С адиабатическими инвариантами связано так много важных результатов в классической и квантовой физике, что сейчас уже невозможно представить себе какую-либо область физики без этого понятия.
Пример инварианта. В существовании адиабатических инвариантов легко убедиться, обратившись к рассмотренному выше примеру упругого шарика, поочередно отражающегося от двух параллельных вертикальных стенок. Предположим, что одна из стенок, например правая, медленно движется вправо или влево с некоторой заданной скоростью и, малой по сравнению со скоростью шарика у. u/v« 1. При каждом отражении шарика от этой стенки будет изменяться не только направление его скорости на противоположное, но и ее модуль. Изменение скорости шарика при отражении от движущейся стенки проще всего найти следующим образом. Перейдем в систему отсчета, связанную с движущейся стенкой. В этой системе проекция скорости шарика при упругом ударе изменяет знак на противоположный. Поэтому, если до удара проекция скорости шарика в лабораторной системе была vx, в системе, связанной со стенкой, она была vx — их, то после удара в этой системе она равна — (vx — их) = их — vx, и соответственно в лабораторной системе после удара
v'x = 2их - VX-
Так будет повторяться при каждом соударении шарика со стенкой, поэтому шарик будет постепенно разгоняться, если стенки сближаются (их < 0), и замедляться, если стенки раздвигаются (их>0). Пусть для определенности расстояние между стенками уменьшается. Тогда при каждом отражении от движущейся навстречу ему стенки шарик, в соответствии с (6), увеличивает свою скорость на 2и. После N таких столкновений его скорость станет равной
v = v + 2 uN. (7)
Считая, что эти N соударений произошли за время At, для нового расстояния 1' между стенками можно написать
l' = I — и At. (8)
Если за время At первоначальное расстояние между стенками изменилось незначительно, то соотношение между N и At можно приближенно записать в виде
A t = ~N, (9)
§ 38. ФАЗОВАЯ ПЛОСКОСТЬ. АДИАБАТИЧЕСКИЕ ИНВАРИАНТЫ
249
так как 2l/v соответствует промежутку времени между двумя последовательными соударениями с движущейся стенкой. Подставляя At из (9) в (8), перепишем соотношения (7) и (8) следующим образом:
v'=v(\+2-n), l' = /(I-2-n\. (10)
Из формул (10) видно, что относительное уменьшение расстояния между стенками сопровождается таким же относительным увеличением скорости шарика. Если вторые слагаемые в скобках малы по сравнению с единицей, произведение lv остается почти постоянным:
l'v = lv
1 - 2-N
lv — const.
(11)
г
Это и есть адиабатический инвариант рассматриваемой системы.
Геометрический смысл инварианта. Адиабатическому инварианту можно придать наглядный геометрический смысл на фазовой плоскости (см. рис. 134). Легко видеть, что произведение 2lv представляет собой площадь части фазовой плоскости, охватываемой замкнутой фазовой траекторией рассматриваемого периодического движения. При сближении стенок этот прямоугольник меняет свои пропорции (рис. 139), но так, что его площадь остается неизменной.
Другим механическим системам соответствуют, разумеется, иные фазовые траектории, например эллипсы на рис. 138, описывающие колебания маятника около устойчивого положения равновесия. Но охватываемая фазовой траекторией
площадь будет представлять собой адиабатический инвариант лишь при условии, когда эта площадь соответствует физическому смыслу инварианта, т. е. имеет размерность энергии, умноженной на время: ML2T~l (или Ь2Т~1). Это значит, что для маятника по осям на фазовой плоскости следует откладывать 9 и /2ф. При медленном изменении какого-либо параметра, в частности длины колеблющегося маятника, площадь, охватываемая эллипсом, будет оставаться неизменной, хотя его полуоси изменяются.
Рис. 139. При медленном изменении расстояния между стенками охватываемая фазовой траекторией площадь остается неизменной
Физический смысл инварианта. Физический смысл адиабатического инварианта проясняется, если в рассмотренном примере шарика между стенками перейти от скорости v к импульсу ша-
250
III. ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ
