Физика для углубленного изучения 1. Механика - Бутиков Е.И.
Скачать (прямая ссылка):
рика р = mv и подставить в инвариантное произведение Ip = Imv расстояние /, выразив его через скорость v и период Т движения шарика: I = vT/2. В результате получим
, vT mv2 „
Imv = mv -у = —2~ T = ET,
где E = mv2/2 — кинетическая энергия шарика. Если система обладает не только кинетической, но и потенциальной энергией, как в случае качающегося около положения равновесия маятника, то адиабатический инвариант представляет собой произведение полной механической энергии Е системы на период Т. При медленном изменении параметров системы ее энергия и период изменяются так, что их произведение остается неизменным: ET = const.
Условия существования инварианта. При поиске адиабатических инвариантов в изучаемой системе следует быть очень осмотрительным. Напомним, что условие адиабатичности измене-
ния параметра заключается в выполнении неравенства Г,« параметр должен изменяться медленно в масштабе характерного для системы времени 7’1 (периода движения). Например, если медленно движущуюся стенку в рассмотренной выше системе перед каждым столкновением с шариком останавливать на короткое время, то никакого адиабатического инварианта уже не будет: модуль скорости шарика не меняется при таком медленном монотонном уменьшении расстояния между стенками. Здесь характерное время изменения внешнего параметра оказывается таким же, как и период движения шарика.
Еще более поучительным может оказаться следующий пример. Как уже отмечалось, при медленном изменении длины маятника, например при втягивании в отверстие нити, на которой качается грузик, инвариант существует: произведение энергии колебаний на период остается неизменным, хотя каждый из сомножителей изменяется. Однако при медленном изменении массы грузика, например за счет его испарения, адиабатического инварианта не существует, так как период его колебаний остается неизменным. В данном случае условия уменьшения массы (скорость отделяющихся молекул пара) изменяются в такт с колебаниями маятника, т. е. параметр изменяется в том же временнбм масштабе, что и колебания маятника. В противоположность этому при втягивании нити колебания маятника никак не влияют на скорость изменения длины нити, определяемую только внешними условиями.
Вопрос оценки точности, с которой сохраняется адиабатический инвариант, например (11), не так прост, как может показаться на первый взгляд. Пока второе слагаемое в скобках много
§ 39. МЕХАНИЧЕСКОЕ РАВНОВЕСИЕ
251
меньше единицы, точность инварианта определяется отбрасываемыми квадратичными членами (которые не учитывались уже в (9)). Но даже в тех случаях, когда члены (2(u/v)N)2 уже нельзя считать малыми, адиабатический инвариант lv сохраняется с точностью, существенно превышающей ту, которую можно ожидать на основании формулы (11).
• Что такое адиабатический инвариант? Каков его геометрический смысл на фазовой диаграмме?
• Пусть расстояние между сближающимися стенками уменьшилось в два раза. Во сколько раз при этом изменится энергия мечущегося между ними шарика? За счет чего происходит увеличение энергии шарика? Как изменится период? к
§ 39. Механическое равновесие
Раздел механики, в котором изучаются условия равновесия тел, называется статикой. Проще всего рассмотреть условия равновесия абсолютно твердого тела, т. е. такого тела, размеры и форму которого можно считать неизменными. Понятие абсолютно твердого тела является абстракцией, поскольку все реальные тела под влиянием приложенных к ним сил в той или иной степени деформируются, т. е. меняют свою форму и размеры. Величина деформаций зависит как от приложенных к телу сил, так и от свойств самого тела — его формы и свойств материала, из которого оно изготовлено. Во многих практически важных случаях деформации бывают малыми и использование представлений об абсолютно твердом теле является оправданным.
Модель абсолютно твердого тела. Однако не всегда малость деформаций является достаточным условием для того, чтобы тело можно было считать абсолютно твердым. Чтобы пояснить это, рассмотрим следующий пример. Доска, лежащая на двух опорах (рис. 140а), может рассматриваться как абсолютно твердое тело, несмотря на то, что она слегка прогибается под действием сил тяжести. Действительно, в этом случае условия механического равновесия позволяют определить силы реакции опор 1Ч( и N2, не учитывая деформации доски.
Но если та же доска лежит на тех же опорах (рис. 1406), то представление об абсолютно твердом теле является неприменимым. В самом деле, пусть крайние опоры находятся на одной горизонтали, а средняя — чуть ниже. Если доска абсолютно твердая, т. е. вообще не прогибается, то она совсем не давит на среднюю опору (N3 = 0). Если же доска прогибается, то она давит на среднюю опору, причем тем сильнее, чем больше деформация. Условия рав-
252
III. ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ
новесия абсолютно твердого тела в этом случае не позволяют определить силы реакции опор Np N2 и N3, так как приводят к
