Физика для углубленного изучения 1. Механика - Бутиков Е.И.
Скачать (прямая ссылка):
BE < DC. (8)
Так как BE = г sin 9, a DC = ВС cos 9 = Л9 cos 9, то из условия (8) получаем
Поскольку tg 9 > 9 (0<9<л/2), сила тяжести будет стремиться возвратить верхний карандаш в положение равновесия только при r/R< 1. Следовательно, устойчивое равновесие верхнего карандаша на нижнем возможно только тогда, когда его радиус меньше радиуса нижнего карандаша.
Роль трения. Для ответа на второй вопрос следует выяснить, какие причины ограничивают допустимый угол отклонения. Во-первых, при больших углах отклонения вертикаль, проведенная через центр масс верхнего карандаша, может пройти правее точки опоры С. Из условия (9) видно, что при заданном отношении радиусов карандашей у = RJr максимальный угол отклонения 9t опреде-
260
III. ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ
ляется уравнением tg <pj = y^ps. Решение этого трансцендентного уравнения легко найти графически (рис. 149).
Во-вторых, максимальное значение угла отклонения ограничивается трением: карандаш не
должен соскальзывать, т. е. для предельного угла ip2 получаем tg <р2 = [х (вспомните условие равновесия на наклонной плоскости). Решение этого уравнения также показано на рис. 149. Очевидно, что максимально допустимый угол отклонения равен меньшему из и ip2. Поскольку 7 > 1, а коэффициент трения ц обычно меньше единицы, то максимально допустимый угол отклонения практически всегда определяется условием соскальзывания, т. е. углом ф2.
Рис. 149. Графическое решение уравне ния tg ip — 7ip
Всегда ли условий равновесия твердого тела достаточно для определения сил реакции?
Как практически можно определить направление сил реакции при отсутствии трения?
Как можно использовать золотое правило механики при анализе условий равновесия?
Если в шарнире, показанном на рис. 144, нитью соединить не точки А и В, а точки Л и С, то какой будет ее сила натяжения?
Как связана устойчивость равновесия системы с ее потенциальной энергией?
Какими условиями определяется максимальный угол отклонения тела, опирающегося на плоскость в трех точках, чтобы не была утрачена его устойчивость?
§ 40. Движение твердого тела
В твердом теле расстояния между любыми точками по определению неизменны. Твердое тело имеет шесть степеней свободы: для задания его положения нужно указать, например, три координаты какой-либо его точки и три угла, характеризующие его ориентацию в пространстве.
Поступательное движение. Движение тела, при котором его ориентация остается неизменной, называется поступательным. При
§ 40. ДВИЖЕНИЕ ТВЕРДОГО ТЕЛА
261
поступательном движении все точки тела движутся по одинаковым параллельным траекториям с одинаковыми скоростями (рис. 150),
Рис. 150. При поступательном движении все рис. 151. Скорость точек твер-
точки тела движутся по одинаковым параллель- дого тела при вращении вокруг
ным траекториям с одинаковыми скоростями фиксированной оси
поэтому все тело можно рассматривать как одну материальную точку. Другие важные виды движения твердого тела — вращение вокруг фиксированной оси, плоское движение, вращение вокруг неподвижной точки.
Вращение вокруг оси. При вращении вокруг фиксированной оси (рис. 151) все точки тела движутся по окружности, причем скорость v любой из них равна векторному произведению одной и той же для всего тела угловой скорости to, направленной вдоль оси вращения, и радиуса-вектора г рассматриваемой точки тела:
v = со х г. (1)
Модуль скорости v = соR, где R = г sin 0 — расстояние до оси вращения (рис. 151). Такому движению соответствует одна степень свободы.
Плоское движение. Частный случай плоского движения — качение цилиндра (рис. 152). Его можно представить как сумму вращения вокруг какой-либо оси, параллельной образующей цилиндра, и поступательного движения со скоростью, равной скорости точек цилиндра, лежащих на этой оси. При любом выборе оси угловая скорость to одна и та же. В качестве оси вращения удобно выбирать либо ось О цилиндра, либо линию О касания цилиндра с поверхностью, по которой он катится. Если качение происходит без проскальзывания, то скорости точек на линии касания О' равны нулю, а скорость любой другой точки цилиндра будет такой же, как при вращении с той же угловой скоростью вокруг неподвижной оси, проходящей через линию касания О (мгновенная ось вращения).
262
III. ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ
Распределение скоростей точек, лежащих на вертикальном диаметре, показано на рис. 152а, Например, скорость точки А равна
А VA
ti, - ti + coR - 2coR
v - соЛ
а 6
Рис. 152. Скорости точек при качении цилинра
vA = ш-2Л, так как она находится на расстоянии 2R от мгновенной
оси О'. Ее можно представить как сумму скорости v оси О цилиндра и скорости со/?, обусловленной вращением вокруг оси цилиндра (рис. 1526):
