Физика в примерах и задачах - Бутиков Е.И.
Скачать (прямая ссылка):
Подсказкой к нахождению пути решения этой задачи может послужить то обстоятельство, что она помещена в
G-"
\
т
Рис. 1.1. В некоторый момент точка подвеса приводится в движение с постоянной скоростью V
v-=0
\
\
О-
Рис. 1.2. В системе отсчета, где точка подвеса неподвижна, шарик в начальный момент имеет скорость —v
разделе «Релятивистская и квантовая физика». То, что квантовая физика здесь ни при чем, сомнений не вызывает, поэтому остается выяснить, какое отношение может иметь эта задача, в которой рассматривается движение с заведомо нерелятивистскими скоростями, к теории относительности. Оказывается, что и к теории относительности эта задача тоже отношения не имеет. Но вот принцип относительности, лежащий в основе этой теории, причем в своей классической форме, сформулированный еще Галилеем, имеет к этой задаче самое непосредственное отношение. Его использование позволяет сразу свести эту задачу к другой, хорошо известной.
Согласно принципу относительности Галилея законы, описывающие механические явления, во всех инерциальных системах отсчета одинаковы. При решении данной задачи удобно перейти в систему отсчета, в которой точка подвеса неподвижна. Так как в исходной (лабораторной) системе отсчета точка подвеса движется с постоянной скоростью
1. ПРИНЦИП ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ
431
V, то новая система отсчета также является инерциальной. Однако в этой системе движение шарика на нити выглядит уже довольно просто: точка подвеса нити все время неподвижна, а самому шарику в начальный момент времени сообщается скорость —v, направленная по горизонтали направо (рис. 1.2). Разумеется, и в новой системе отсчета на шарик тоже действует поле тяготения напряженности^.
В системе отсчета, связанной с точкой подвеса, дальнейшее движение шарика будет происходить по-разному в зависимости от его начальной скорости. При небольшой начальной скорости система будет вести себя как математический маятник, совершающий малые почти гармонические колебания вблизи вертикального положения равновесия:
Ф(/)=Ф„ sin со/. (1)
Частота со равна частоте собственных колебаний математического маятника длины I: со2=g/l. Выбор начальной фазы колебаний в уравнении (1) соответствует тому, что при /=0 маятник расположен вертикально и ф=0. Амплитуда колебаний ф0 также находится из начальных условий. Так как согласно формуле (1) угловая скорость маятника <р равна
Ф (t) — соф0 cos соt, (2)
то линейная скорость шарика при /=0 равна соф0/. Приравнивая ее начальной скорости V, находим угловую амплитуду ф»:
Фо=и/со/. (3)
Такое гармоническое колебательное движение маятника происходит только при небольшой амплитуде ф0<С1, т. е., как видно из формулы (3), при
y<co/ = Kg/-
Если начальная скорость v не очень мала, т. е. не удовлетворяет приведенному неравенству, то колебания маятника будут происходить с большой амплитудой и уже не будут гармоническими. Но амплитуда колебаний, разумеется, не может превышать значения ф0=я/2. При такой амплитуде шарик в крайних положениях поднимается до уровня точки подвеса. Этому соответствует, как легко убедиться с помощью закона сохранения энергии, значение начальной скорости v — V 2gl. Если же начальная скорость
432
X. РЕЛЯТИВИСТСКАЯ И КВАНТОВАЯ ФИЗИКА
больше этого значения, то шарик поднимется выше точки подвеса, однако он будет двигаться по окружности только до тех пор, пока сила натяжения нити не обратится в нуль. Начиная с этой точки, гибкая нить не влияет на движение шарика, и он движется свободно в поле тяжести по параболе, пока нить снова не вытянется на всю длину.
Угловое положение точки фь в которой сила натяжения нити обращается в нуль, легко найти с помощью закона сохранения энергии и проекции уравнения второго закона Ньютона на направление нити, полагая в нем силу натяжения нити Т равной нулю. Из рис. 1.3 видно, что эти уравнения записываются следующим образом:
mu2 ,,, . . moI .,.
cosq>iH—2"^ (4)
mg cos (л — q>l) = mvl/l. (5)
Подставляя vf из уравнения (5) в (4), находим
с°3ф1 = т(2-^). (6)
Поскольку шарик поднимается выше точки подвеса только при и2>2gl, то даваемое формулой (6) значение cos срх отрицательно. Из формулы (6) видно, что чем больше начальная скорость шарика V, тем ближе уголф! к я. Наконец, если иг=5gl, то cos фх=—1 и сила натяжения нити обращается в нуль, когда шарик при движении по окружности оказывается точно над точкой подвеса. Ясно, что при таком и тем более при больших значениях начальной скорости шарик будет совершать полные обороты но окружности, все время натягивая нить.
Движение шарика в исходной лабораторной системе отсчета, где его точка подвеса приведена в равномерное движение со скоростью V, получается в результате сложения описанного выше движения во вспомогательной системе отсчета и равномерного движения со скоростью V.
