Физика в примерах и задачах - Бутиков Е.И.
Скачать (прямая ссылка):
v*s=v>/7+F' №
Полученные формулы (11) и (12) и дают выражение для
продольного эффекта Доплера в релятивистском случае.
5. ФОТОННЫЙ ПАРУС
443
Частота Vj. фотона, излучаемого по направлению движения, оказывается выше, а частота v2 фотона, излучаемого против движения,— ниже, чем частота фотона, испускаемого неподвижным излучателем.
Легко видеть, что при о/с<С 1 формулы (11) и (12) дают обычное выражение для нерелятивистского эффекта Доплера. Для этого домножим числитель и знаменатель подкоренного выражения в формуле (11) на с+и. Пренебрегая затем в знаменателе величиной и2 по сравнению с с2, получаем
что совпадает с формулой (6) при 0=0. Аналогично, формула (12) при vlc<Cl дает выражение, совпадающее с формулой (6), если в последней положить 0=я.
Во всех рассуждениях мы под частотой молчаливо подразумевали частоту излучения, регистрируемого неподвижным в данной системе отсчета приемником. Изменение частоты происходило только за счет движения источника. На самом деле в случае электромагнитного излучения, распространяющегося в вакууме, все полученные формулы остаются справедливыми и при движении приемника излучения, только в этом случае под v следует понимать относительную скорость — скорость источника относительно приемника. А
5. Фотонный парус. На неподвижное идеальное плоское зеркало массы т нормально к его поверхности падает плоская световая волна. Под действием силы светового давления зеркало приходит в движение. Определить конечную скорость зеркала и энергию отраженной от него волны, если энергия падающей волны равна WV
Д На протяжении всей книги мы много раз убеждались, что очень многие задачи можно решить, не вникая в детали происходящих физических явлений. Для ответа на многие вопросы достаточно только представить общую картину рассматриваемых явлений и правильно применить подходящие фундаментальные законы сохранения. Так и в этой задаче. Точное динамическое решение здесь сопряжено с большими трудностями. В самом деле, энергия отраженной от зеркала волны зависит от того, как движется зеркало, а закон движения зеркала определяется его взаимодействием со световой волной. Однако совершенно ясно,
(13)
444
X. РЕЛЯТИВИСТСКАЯ И КВАНТОВАЯ ФИЗИКА
что, независимо от механизма взаимодеиствия электромагнитной волны с зеркалом, должны выполняться законы сохранения энергии и импульса, поскольку рассматриваемая система — зеркало и световая волна — является замкнутой. Использование этих законов дает возможность без труда решить эту задачу даже с учетом релятивистских эффектов, когда становится существенной зависимость массы движущегося тела от его скорости.
Приступим к решению задачи. Энергия падающей на зеркало световой волны равна W0, а энергию отраженной волны обозначим через Wx. Вначале зеркало покоится. Тогда закон сохранения энергии можно записать в виде
W0 + m0c^W1 + y^. (1)
Так как энергия электромагнитного поля W связана с его импульсом р соотношением
p=W/c, (2)
то закон сохранения импульса принимает вид
Wi m0v
ГГ-
(3)
Знак минус в первом члене правой части формулы (3) соответствует тому, что отраженная от зеркала волна движется в обратном направлении. Для исключения энергии отраженной волны Wi умножим обе части равенства (3) на с и сложим почленно с (1). Тогда получим
2W0 + m^ = y^==(l+v/c). (4)
Простыми преобразованиями выражение (4) можно привести к виду
?±?= ( 1 , 2^о у
c—v V т0с2 у ' ( )
Отсюда получим выражение для конечной скорости зеркала и:
t._c (1+2^0//ПосУ-1
(1+21Г0/т0с^ + 1 1 W
Теперь найдем энергию отраженной волны W1. Для этого вычтем из выражения (1) равенство (3), умноженное
6. фотонный парус
445
на с:
/иес2
2W7! + т0с2
С—V c-f и ’
(7)
откуда с помощью (5) легко находим энергию отраженной
ВОЛНЫ Wi'.
Интересно отметить, что энергия отраженной волны не может превышать половины энергии покоя зеркала, какой бы большой ни была энергия падающей волны. Действительно, пренебрегая единицей в знаменателе (8), мы только увеличим правую часть, поэтому
¦ Таким образом, чем больше энергия падающей волны, тем большая часть этой энергии передается зеркалу. При Waj$>tnbc'1 практически вся энергия волны передается зеркалу. Отражается только малая часть энергии, равная, как мы только что видели, т0с2/2. Подчеркнем еще раз, что этот результат мы получили, совершенно не вникая в механизм взаимодействия электромагнитной волны с веществом, из которого сделано зеркало!
Интересно отметить другой предельный случай, когда энергия падающей волны много меньше энергии покоя зеркала: U70<Cm-,c2. В этом нерелятивнстском случае формулы (6) и (8) можно упростить. В знаменателе выражения (6) можно вторым слагаемым в скобках пренебречь по сравнению с единицей, а в числителе при возведении скобки в квадрат следует сохранить удвоенное произведение, ибо единицы взаимно уничтожаются. В результате получаем
