Физика в примерах и задачах - Бутиков Е.И.
Скачать (прямая ссылка):
/ / У л
V —V = V — cos 0, с
откуда
v' =----1-----»v(l+-^cose) (6)
1----cos 0 ^ '
с
с точностью до членов порядка vie. Из этой формулы следует приведенное в условии соотношение
A v v к ----= —COS0.
V с
Обратим теперь внимание на следующее обстоятельство. Если в формуле, определяющей сдвиг частоты, положить и=0, то получается Av=0. Означает ли это, что свет, излучаемый свободным неподвижным атомом, имеет такую же частоту, как и свет, излучаемый «закрепленным» атомом? Даже из интуитивных соображений ясно, что так быть не может из-за явления отдачи: закон сохранения импульса требует, чтобы в результате излучения фотона свободный атом пришел в движение. В полученной выше приближенной формуле явление отдачи не учтено, так как при ее выводе, переходя от (2) к (3), мы пренебрегали импульсом фотона, считая его малым по сравнению с импульсом излучающего атома. Поэтому в окончательной формуле нельзя полагать и=0, так как приведенное решение справедливо только при выполнении условия hv'c^mv. Если же рассматривать излучение света неподвижным атомом, то именно явление отдачи определяет изменение частоты.
Сдвиг частоты, обусловленный явлением отдачи, легко найти с помощью законов сохранения энергии и импульса.
4. ЭФФЕКТ ДОПЛЕРА
441
Запишем уравнения (1) и (2) для случая р= 0:
hv'-h—-?> Q = pt~-
Подставляя импульс отдачи рх из второго равенства в первое, находим
Таким образом, относительный сдвиг частоты из-за явления отдачи определяется отношением энергии фотона к энергии покоя излучающего атома. Для гамма-квантов, излучаемых атомными ядрами, такой сдвиг оказывается существенным. В оптическом диапазоне Av/v<l и формулу (7) можно переписать в виде
Av __ hv
v ~ 2тсг ‘
Например, для линий серии Бальмера в спектре атома водорода Av/v~10~s.
Разумеется, явление отдачи можно учесть и при излучении света движущимся атомом. Для этого при переходе от формулы (2) к (3) нужно сохранить слагаемое, содержащее квадрат импульса фотона. Окончательное выражение для относительного сдвига частоты, кроме (v/c) cos 0, будет содержать член /iv7(2mca), который становится главным при у=0.
До сих пор мы рассматривали нерелятивистский случай, когда излучающий атом двигался со скоростью v, много меньшей скорости света с. Интересно выяснить, каким будет обусловленный эффектом Доплера сдвиг частоты, если излучатель движется с большой скоростью, сравнимой со скоростью света с. Это можно сделать, если использовать для энергии и импульса излучающего атома точные релятивистские выражения. Однако проще рассмотреть другой пример — аннигиляцию электрон-позитронной пары, сопровождающуюся излучением двух гамма-квантов. Анализ этого примера даст возможность ответить и на интересующий нас вопрос.
Пусть перед аннигиляцией относительная скорость злектрона и позитрона мала, т. е. можно считать, что они оба покоятся. Так как импульс всей системы до аннигиляции равен нулю, то он останется равным нулю и после излучения. Это значит, что образовавшиеся при аннигиляции фотоны летят в противоположные стороны и имеют
442 X. РЕЛЯТИВИСТСКАЯ И КВАНТОВАЯ ФИЗИКА
равные по модулю импульсы hv/c и, следовательно, одинаковую частоту V. Эта частота сразу находится с помощью закона сохранения энергии: приравнивая энергию фотона энергии покоя электрона и позитрона,
2hv=2m0c2,
получаем
v=m0c2!h. (8)
Соответствующая этому излучению длина волны A=c/v, вследствие (8), равна h!m0c и называется комптоновской длиной волны электрона.
Теперь рассмотрим этот же процесс аннигиляции электрона и позитрона с точки зрения другой системы отсчета, относительно которой электрон-позитронная пара перед аннигиляцией движется со скоростью V. Направление скорости v выберем так, чтобы оно совпадало с направлением распространения одного из испущенных фотонов. Обозначим через Vi частоту фотона, излучаемого «вперед», а через V» — излучаемого «назад». Тогда в этой системе отсчета закон сохранения импульса в проекции на направление движения аннигилирующей пары принимает вид
hv± hvz 2mav
с с у 1 — с2/са
(9)
При аннигиляции полная релятивистская энергия пары превращается в энергию излучения. Поэтому закон сохранения энергии записывается в виде
hvt + hvг— 2т</С . (10)
Из системы уравнений (9) и (10) легко найти частоты vx и v2. Умножив обе части (9) на с и сложив с уравнением (10), находим vx:
т0с*
Здесь использовано выражение (8) для частоты v фотона, излучаемого при аннигиляции неподвижной пары. Аналогично, вычитая из уравнения (9) уравнение (10), находим va:
-1 f c~v ,ini
