Физика в примерах и задачах - Бутиков Е.И.
Скачать (прямая ссылка):
Возвращаясь теперь в лабораторную систему отсчета, мы видим, что после рождения пары все три частицы должны двигаться с одинаковой скоростью. Поскольку масса у этих частиц одинакова, то будут одинаковыми и их импульсы. Вследствие закона сохранения импульса это означает, что полный импульс, которым обладали фотон и электрон до рождения пары, распределится поровну между тремя частицами. Если до рождения пары электрон в лабораторной системе отсчета покоится, то после рождения пары импульс каждой частицы р равен одной трети импульса
438 х. РЕЛЯТИВИСТСКАЯ и КВАНТОВАЯ ФИЗИКА
фотона hv/c:
p=h\/3c. (4)
Используя релятивистскую формулу, выражающую энергию частицы через ее импульс, убеждаемся, что и энергия всех трех частиц одинакова и равна
Е — V ргсг + /и оС4 = V (/iv/З)2 + /тгоС4. (5)
Теперь остается только воспользоваться законом сохранения энергии. До рождения пары энергия в лабораторной системе отсчета — это энергия фотона hv и энергия покоя электрона тйсг. После рождения пары энергия равна утроенному значению энергии каждой частицы. Поэтому
/iv + тйс2 = 3 V (/iv/З)2 + /тг’оС4. (6)
Возведя обе части этого равенства в квадрат и приводя подобные члены, находим значение /zv пороговой энергии рождения пары вблизи покоящегося электрона:
hv=4m0c2. (7)
Обратим внимание на то, что эта энергия вдвое превышает значение пороговой энергии фотона для рождения электрон-позитронной пары вблизи массивной частицы, например вблизи ядра тяжелого элемента. Значит, только половина энергии фотона при рождении пары вблизи покоящегося электрона превращается в энергию покоя образовавшихся частиц. Другая половина неизбежно превращается в кинетическую энергию. Это связано с необходимостью обеспечить выполнение закона сохранения импульса. ^
4. Эффект Доплера. Читатель наверняка замечал, как меняется высота звука гудка локомотива, когда поезд проносится мимо. Высокий тон гудка приближающегося поезда становится заметно более низким, как только источник звука промчится мимо и начинает удаляться. Такое изменение частоты воспринимаемого сигнала при движении источника звука (или приемника) носит название явления Доплера. Это явление имеет место и в оптике: движущийся атом излучает свет другой частоты по сравнению с неподвижным. Оказывается, что это типично волновое явление может быть правильно объяснено с точки зрения представления о свете как о совокупности световых квантов — фотонов. Опираясь на эти представления, покажите, что при медленном движении излучающего атома (скорость атома
4. ЭФФЕКТ ДОПЛЕРА
439
v много меньше скорости света с) относительное изменение частоты излучаемого им света Av/v дается соотношением
Av v п
— = — cos U,
V с
где 9 — угол между направлением движения атома и направлением испускаемого фотона.
А Поскольку мы ничего не знаем о механизме излучения света атомами, нам остается только попробовать применить к акту испускания фотона движущимся атомом законы сохранения энергии и импульса. «Закрепленный» непо-
Р,
Рис. 4.1. Импульс атома до излучения р равен векторной сумме импульса рх после излучения и импульса фотона />ф
движный атом испускает фотон с энергией hv при переходе атома из одного стационарного состояния в другое. Разность энергий этих стационарных состояний не зависит от тоЛ), покоится атом или движется.
При испускании фотона свободно движущимся атомом импульс атома изменяется, поскольку испущенный фотон обладает импульсом. Следовательно, кинетическая энергия атома также меняется, и энергия фотона hv', испущенного движущимся атомом, отличается от hv вследствие изменения кинетической энергии атома.
На основании закона сохранения энергии
hV-hv^-?, (1)
где р — импульс атома массы т до испускания фотона, Pi — после испускания.
Начальный и конечный импульсы атома можно связать с импульсом испускаемого фотона />ф с помощью закона сохранения импульса (рис. 4.1):
P^Pi + P/b- (2)
Перенося /?ф в равенстве (2) в левую часть, возводя полученное равенство в квадрат и учитывая, что импульс фотона крайне мал по сравнению с импульсом излучающего атома, получаем
р2—2/?/?ф соз 0 я»/?!. (3)
440 X РЕЛЯТИВИСТСКАЯ И КВАНТОВАЯ ФИЗИКА
С помощью (3) соотношение (1) можно переписать в виде hv'— hv = j^ptb cosO. (4)
Как записать выражение для импульса фотона рф? Так как импульс электромагнитного поля связан с энергией ноля W соотношением W=pc, а энергия испущенного фотона равна hv', то импульс этого фотона есть
/?ф = hv' /с. (5)
Подставляя (5) в (4) и учитывая, что phn есть скорость движения v излучающего атома, находим
