Физика в примерах и задачах - Бутиков Е.И.
Скачать (прямая ссылка):
Минимальная амплитуда, при которой монета будет скользить по подставке, находится из условия
«2Лтт = ^. откуда i4mln = [J,g/C0s. (6)
Естественно, что эта амплитуда тем меньше, чем меньше коэффициент трения.
Отметим, что в задачах подобного рода представляет интерес не только выяснение условий, при которых монета отрывается от подставки или смещается относительно нее, но и исследование характера дальнейшего движения монеты как при вертикальных, так и при горизонтальных колебаниях подставки. Это даже более интересная, но и вместе с тем более трудная задача. ^
2. Движение монеты на вибрирующей подставке. Как
выглядит график скорости монеты, лежащей на подставке, которая совершает горизонтальные гармонические колебания с частотой со и амплитудой А?
344
VIII. КОЛЕБАНИЯ И ВОЛНЫ
А Как было выяснено в предыдущей задаче, при выполнении условия монета будет двигаться вместе с
подставкой. При этом график скорости монеты совпадает с графиком скорости подставки и представляет собой косинусоиду и*(/)=соЛ cos соt, показанную на рис. 2.16. Поэтому интересен только противоположный случай coM>[ig, когда монета смещается относительно подставки.
На рис. 2.1а приведен график ускорения подставки ax(t)——ui*A sin соt, на котором указаны области, где модуль этого ускорения не превосходит значения т. е.
Рис. 2.1. На интервалах /2, /3 и tit ts монета движется вместе с подставкой
максимального ускорения, которое сила трения может сообщить монете. Именно в эти интервалы времени (интервалы «захвата») монета могла бы двигаться вместе с подставкой.
Пусть до момента ti (рис. 2.1) монета движется вместе с подставкой. В момент U происходит «срыв» монеты, и трение покоя заменяется трением скольжения. Так как сила трения скольжения постоянна, то дальнейшее движение монеты в инерциалыюй системе отсчета (т. е. в лабораторной системе отсчета, а не относительно подставки) происходит с постоянным ускорением. Поэтому график скорости монеты, начииая с момента tu представляет собой прямую линию, наклон которой определяется силой трения скольжения. Если считать, что эта сила равна максимальной силе трения покоя, то данная прямая касается синусоиды в момент «срыва» ti.
Характер дальнейшего движения монеты зависит от того, в какой момент времени ее скорость снова станет равной скорости подставки. Если это случится в пределах ин-
2. ДВИЖЕНИЕ МОНЕТЫ НА ВИБРИРУЮЩЕЙ ПОДСТАВКЕ 34®
тервала «захвата», например в момент /2 (рис. 2.1), то в течение промежутка от U до границы интервала «захвата» t3 монета движется вместе с подставкой. В момент t3 снова происходит «срыв», и дальнейшее движение опять происходит с таким же по модулю ускорением, но направленным в противоположную сторону. В момент скорости монеты и подставки опять сравниваются, и они движутся вместе до очередного «срыва», происходящего в момент tb. Дальше
Рис. 2.2. Монета все время проскальзывает относительно подставки
все повторяется сначала. Таким образом, график скорости монеты представляет собой «пилу», состоящую из отрезков синусоид и прямых линий (рис. 2.16).
Теперь рассмотрим случай, когда скорости монеты и подставки сравниваются за пределами следующего интервала «захвата» (рис. 2.2). График скорости монеты теперь будет состоять из прямолинейных отрезков, наклон которых, равный ускорению монеты ±|xg, определяется силой трения скольжения. Изломы на этом графике соответствуют моментам изменения направления силы трения. Это происходит при изменениях направления относительной скорости, т. е. при пересечении прямых с синусоидой графика скорости подставки. Высота зубцов такой «пилы», т. е. максимальное значение скорости монеты uma)t, равно произведению наклона на четверть периода колебаний подставки: vmm = [igT/'4 = n[ig/2a.
Итак, возможны три режима движения монеты на вибрирующей подставке в зависимости от значения безразмерного параметра &2A/\ig. Как мы видели, при еаМ/ц?<1
346
VIII. КОЛЕБАНИЯ И ВОЛНЫ
монета будет двигаться вместе с подставкой. При значениях этого параметра, превосходящих единицу, только часть периода монета будет двигаться вместе с подставкой. Такой режим движения осуществляется, пока параметр coM/jig не достигнет значения V 1 + я2/4. Чтобы убедиться в этом, достаточно сообразить, что переход к третьему режиму, при котором монета все время проскальзывает относительно подставки, происходит тогда, когда произведение наклона прямой jig на половину периода 772 равно удвоенному значению скорости подставки в момент срыва:
^?я/со=2соЛ cos оiti.
Подставляя сюда cos со^ = V1—sin2co^ = K 1—(ц^/юМ)*, находим предельное значение интересующего нас параметра: coM/^,g = K 1 +я2/4.
Видно, что переход от одного режима движения к другому возможен при увеличении либо частоты, либо амплитуды колебаний А, либо при уменьшении коэффициента трения J.I. А
3. Комбинированный маятник. Рассмотрим маятник, изображенный на рис. 3.1. Легкий стержень длины I подвешен на оси в точке А таким образом, что он может двигаться в плоскости чертежа. К грузу массы т на конце стержня прикреплены одинаковые пружины жесткости к, расположенные горизонтально в этой же плоскости. Другие концы пружин закреплены неподвижно. Найти частоту малых собственных колебаний такого маятника в отсутствие трения. Массами стержня и пружин пренебречь.
