Физика в примерах и задачах - Бутиков Е.И.
Скачать (прямая ссылка):
груза влево резинка просто провисает. Найти период собственных колебаний такого несимметричного маятника.
Л При отклонении маятника вправо резинка растягивается и движение груза происходит по такому же закону, как и движение комбинированного маятника в задаче 1. Единственное отличие состоит в том, что вместо двух пружин теперь имеется только одна. Поэтому при х>0
та=—tngxil—kx (х>0). (1)
Вводя для ускорения а обозначение х, перепишем это уравнение в виде
х + Юо* = о (х > 0), (2)
где частота собственных колебаний со0 определяется соотношением
<ol—g/1+k/m. (3)
Из уравнения (2) следует, что движение груза происходит по такому же закону, как и при гармоническом колеба-
350
VIII. КОЛЕБАНИЯ и ВОЛНЫ
пии с частотой со0, пока л;>0, поскольку сила упругости —kx действует на груз только до тех пор, пока маятник отклонен вправо. Как только маятник пройдет через положение равновесия и начнет отклоняться влево, действие резинки прекращается и маятник движется так же, как и при свободном колебании в поле тяжести (рис. 2.2). Дифференциальное уравнение такого движения имеет вид
х-\-а\х — 0 (х < 0), где сo\ = g/l. (4)
Таким образом, полная картина движения маятника с резинкой не описывается одним дифференциальным уравнением. Каждый раз в момент прохождения маятником положения равновесия для описания последующего движения
Рис. 4.3. Заштрихованные фигуры, ограниченные графиком зависимости x(t), геометрически подобны
нужно переходить от одного уравнения к другому — от уравнения (2) к уравнению (4), если груз проходит через положение равновесия справа налево, и от уравнения (4) к уравнению (2) — если слева направо.
Период Т, в течение которого осуществляется полный цикл движения рассматриваемого несимметричного маятника, складывается из двух полупериодов, соответствующих гармоническим колебаниям с частотами со, и Ых:
Т=я(1/со0+1/сох). (5)
Интересно сравнить между собой максимальные отклонения маятника при его смещениях вправо и влево от положения равновесия. Это можно сделать, например, построив график зависимости смещения груза от времени. Пусть в начальный момент времени ^=0 груз смещен вправо от положения равновесия на расстояние Л„ и отпущен без начальной скорости. Пока груз не достигнет положения
4. НЕСИММЕТРИЧНЫЙ МАЯТНИК
равновесия, график его движения будет представлять собой часть косинусоиды, соответствующей решению уравнения (2) (рис. 4.3):
x(t)=A0cos<i)J (0</<я/2со0). (6)
После прохождения положения равновесия, т. е. при х<0, график движения будет представлять собой часть другой косинусоиды, соответствующей решению уравнения (4). Эта косинусоида имеет, как мы выяснили, другой период и, разумеется, другую амплитуду At. Однако в точках, где эти косинусоиды сменяют друг друга, они имеют общую касательную (рис. 4.3). В самом деле, наклон касательной на графике зависимости x(t) определяет скорость тела, которая в момент прохождения положения равновесия не меняется. Такие косинусоиды геометрически подобны (см. заштрихованные участки на рис. 4.3), поэтому отношение их амплитуд равно отношению соответствующих полупе-рйодов:
/l1M0=a)<)/coi. (7)
Отсюда после подстановки значений частот <в0 и toi получаем
^i= A>Kl + kl/mg. (8)
К соотношению (7) можно прийти и из энергетических соображений. Полная механическая энергия рассматриваемой системы сохраняется, и в точках остановки, где отклонения маятника максимальны, она совпадает с потенциальной. Поэтому значения потенциальной энергии в крайних точках одинаковы. Так как действующая сила пропорциональна смещению, то потенциальная энергия пропорциональна квадрату смещения. Коэффициент пропорциональности определяет квадрат частоты колебаний. Поэтому выражение для потенциальной энергии Еп можно записать в виде
г, т(о2ла /п.
?п = —— • (9)
Подчеркнем, что данное выражение справедливо как при отклонении груза влево, когда потенциальная энергия —
это энергия груза в поле тяжести, так и при отклонении
вправо, когда потенциальная энергия системы складывается из энергии груза в поле тяжести и потенциальной энергии растянутой резинки. Разумеется, в формулу (9)
352
VIII. КОЛЕБАНИЯ И. ВОЛНЫ
в каждом случае следует подставить соответствующее значение частоты со0 или юх. Если теперь приравнять значения потенциальной энергии в крайних точках слева и справа:
tmalAf ты%Ао
2 2 ’
то немедленно приходим к прежнему соотношению (8). А
5. Колебательный контур с источником тока и его механическая аналогия. Источник с ЭДС <8 и нулевым внутренним сопротивлением соединен последовательно с
