Физика в примерах и задачах - Бутиков Е.И.
Скачать (прямая ссылка):
катушкой индуктивности и конден-Л сатором (рис. 5.1). В начальный
момент времени конденсатор ' не заряжен. Найти зависимость от времени напряжения на конденсаторе после замыкания ключа К-В какой механической системе процесс колебаний будет аналогичен колебаниям в рассматриваемом контуре?
Л Изучение процессов, происходящих в рассматриваемом контуре, естественно начать с составления уравнения для тока в такой цепи. Все элементы цепи соединены последовательно, поэтому сила тока во всех ее участках в данный момент времени одинакова, а сумма напряжений на всех элементах равна ЭДС. Так как по условию внутреннее сопротивление источника тока равно нулю, то
UL + UC = & (I)
где Uc — напряжение на конденсаторе, UL — напряжение на катушке индуктивности.
Напряжение на конденсаторе Uc связано с зарядом q его верхней пластины и его емкостью С соотношением Uc=qlC. Напряжение на индуктивности в любой момент времени равно по модулю и противоположно по знаку ЭДС самоиндукции, поэтому Ul=L dlldt. Ток в цепи /, как видно из рис. 5.1, равен скорости изменения заряда верхней пластины конденсатора: I=dq/dt. Подставляя ток в выражение для напряжения на катушке и обозначая вторую производную заряда конденсатора q по времени через q, перепишем уравнение (1):
Lq + q/C = ?. (2)
-----ujuu--------
L
Рис. 5,1. Колебательный контур, содержащий источник питания
5. КОЛЕБАТЕЛЬНЫЙ КОНТУР С ИСТОЧНИКОМ ТОКА 353
Вводя обозначение al=llLC, запишем уравнение (2) в виде
q-\-a>lq = g/L. (3)
Это уравнение отличается от дифференциального уравнения свободных гармонических колебаний с частотой со0 только тем, что в его правой части вместо нуля стоит постоянная величина ?IL. Его можно привести к уравнению гармонических колебаний, если сделать простую замену
q = Q -\-S/L(ol. (4)
Так как q=Q, то в результате такой замены правая часть в уравнении (3) пропадает, и оно принимает вид
Q + couQ = 0. (5)
Видно, что это действительно уравнение свободных гармонических колебаний с частотой со0, но только теперь величиной, совершающей синусоидальные колебания, является не заряд пластины q, а введенная соотношением (4) величина Q:
Q(t)=Qo cos(co0/+a). (6)
Постоянные Q0 и а должны определяться из начальных условий.
Теперь легко написать выражение для интересующей нас величины q(t). Учитывая, что второе слагаемое в правой части соотношения (4) равно С<§, для заряда конденсатора q(t) с помощью (6) получаем
q(t)=Q0 cos (a0t+a)+C?. (7)
По условию задачи в начальный момент времени /=0 конденсатор не заряжен, а ключ разомкнут, т. е. тока в цепи нет. Поэтому соответствующие рассматриваемой задаче начальные условия имеют вид
<7(0)=0, /(0)=0. (8)
Чтобы выбрать постоянные Q0 и а, удовлетворяющие начальным условиям (8), нужно сначала найти с помощью
(7) выражение для тока в цепи I:
1 (t)=dqldt=—Q0co0 sin (co0/+a). (9)
Полагая в формулах (9) и (7) /=0 и учитывая начальные условия (8), получаем уравнения для нахождения Q0 и а:
Q0cosa + С<§ = 0, —Q0co0sina = 0. (10)
354
VIII. КОЛЕБАНИЯ И ВОЛНЫ
Из первого соотношения (10) видно, что Q0=^= 0. Тогда из второго соотношения следует, что sin а=0, т. е. начальную фазу колебаний а можно положить равной нулю. Подставляя а=0 в первое соотношение (10), находим Q0=—С?. Итак, удовлетворяющее начальным условиям (8) решение уравнения (3) имеет вид
q{t)*=C?(\—cosciV). (11)
Очевидно, что такой же вид имеет и зависимость от времени на1фяжения на конденсаторе U (t)=q/C.
Графики зависимости заряда конденсатора и тока от времени показаны на рис. 5.2. Из этого графика видно,
что заряд конденсатора совершает гармоническое колеба-
ние около значения q—C?, соответствующего заряду, который имел бы конденсатор в рассматриваемой цепи (рис. 5.1) в состоянии равновесия. Колебания заряда происходят между значениями <7=0 и q=2C?, так что знак заряда каждой пластины не
меняется. Колебания тока, в отличие от колебаний заряда, происходят около значения /=0. Максимальное напряжение на конденсаторе равно удвоенной ЭДС источника: UCmax=2?.
Может возникнуть вопрос, как это вообще источник с ЭДС ? может зарядить конденсатор до напряжения, равного 2?. Это объясняется наличием катушки индуктивности в цепи зарядки: действие ЭДС самоиндукции приводит к тому, что ток в цепи не может обратиться в нуль в тот момент, когда напряжение на конденсаторе достигает
значения, равного ЭДС источника, и конденсатор продол-
жает заряжаться.
Переходя к обсуждению механической системы, аналогичной рассмотренной электрической цепи, напомним, что колебательному контуру, содержащему индуктивность и емкость, можно поставить в соответствие пружинный маятник. При этом заряд конденсатора аналогичен смещению груза, а ток в контуре — скорости движения груза. Упругая пружина является аналогом конденсатора, а движущаяся масса — аналогом катушки индуктивности.
