Физика в примерах и задачах - Бутиков Е.И.
Скачать (прямая ссылка):
366
VIII. КОЛЕБАНИЯ и ВОЛНЫ
Будет ли полученное решение иметь смысл? Да, будет, но только оно будет описывать движение маятника с малым затуханием спустя достаточно большой промежуток времени после того, как точка подвеса приведена в движение. Слова «достаточно большой промежуток времени» означают здесь, что, несмотря на малое затухание, переходный процесс уже закончился.
Рис. 9.1. При свободных коле- Рис. 9.2. При м>со0 нижний
баниях маятника длиной L . конец маятника и точка подточка В совершает гармони- веса движутся в противофазе
ческоа колебание с частотой
u> = YgTL
Из условия задачи нам известны амплитуда х0 и круговая частота со колебаний точки подвеса. Очевидно, что вынужденные колебания будут происходить с той же самой частотой со, в то время как частота свободных колебаний этого маятника со0 — Vg/l- Основная идея решения заключается в том, чтобы представить вынужденные колебания данного маятника как свободные колебания некоторого другого маятника. Очевидно, что длина этого маятника L должна определяться из условия со = Vg/L. Здесь могут встретиться разные случаи: частота со может быть меньше, больше или равна собственной частоте свободных колебаний данного математического маятника.
Рассмотрим сначала случай со<<(о0, т. е. частота колебаний точки подвеса меньше частоты свободных колебаний.
9. ВЫНУЖДЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ
367
В этом случае длина L воображаемого маятника больше чем /(рис. 9.1).Поскольку рассматриваются малые колебания, можно считать, что нижний конец А маятника движется по прямой — ось X на рисунке. Если движение точки А происходит по закону X (t)=X„ sin со^, то, как сразу видно из рисунка, точка В, находящаяся на расстоянии I от нижнего конца, совершает движение вдоль оси х по закону x(t)=xо sin at, совпадающему с заданным движением точки подвеса. Теперь нетрудно представить себе, что если в качестве точки В взять точку подвеса маятника /, то движение его нижнего конца будет таким же, как и у воображаемого маятника L. Другими словами, если «отрезать» у маятника длиной L верхнюю часть, но обеспечить при этом внешними силами движение точки В по такому же закону, как и при свободных колебаниях маятника длиной L, то мы получим интересующий нас маятник длины I, точка подвеса которого совершает заданное движение. Очевидно, что движение нижней части маятника при этом не изменится.
Таким образом, вынужденное колебание происходит в той же фазе, что и движение точки подвеса, а амплитуду этого колебания Х0 можно определить из очевидных геометрических соображений:
Здесь мы подставили выражения для длин маятников через их частоты. Обратим внимание на то, что при стремлении частоты колебаний точки подвеса к частоте свободных колебаний маятника амплитуда его вынужденных колебаний неограниченно возрастает, т. е. наступает резонанс. Вблизи резонанса полученное нами решение неприменимо, так как, во-первых, мы исходили из предположения малости колебаний и, во-вторых, вблизи резонанса нельзя пренебрегать затуханием, ибо только при учете затухания амплитуда в резонансе получается конечной.
В случае со>со0 длина воображаемого маятника L<C/ (рис. 9.2). Рассуждая аналогично предыдущему случаю, легко прийти к выводу, что движение нижнего конца маятника I (точка А на рис. 9.2) происходит в противофазе с движением точки подвеса В. Амплитуда вынужденных колебаний легко определяется из геометрических соображений.
368
VIII. КОЛЕБАНИЯ и волны
Приведем окончательный результат: вынужденные ко лебания маятника описываются уравнением
X(t)=Xо sin((D/+q>),
где
/ 2 Х0СО0
О при со < со0,
Ф_=
— Я при (О > со0,
Х„ = '
(00 — со2
, 2 АГ0Ш0
~9 2
а>* — Шо
при (О < со0,
при со > со0.
На рис. 9.3 приведена зависимость амплитуды вынужденных колебаний от частоты движения точки подвеса. Кривая 1 соответствует идеализированному случаю, когда
затухание отсутствует. При (d-v(d0 эта кривая показывает стремление амплитуды вынужденных колебаний к бесконечности в условиях резонанса. Если бы затухание учитывалось, то вместо кривой 1 получилась бы кривая 2. При этом максимум амплитуды вынужденных колебаний оказывается конечным и приходится на частоту, несколько меньшую частоты со0 свободных колебаний. Сдвиг частоты тем больше, чем больше затухание. С ростом затухания уменьшается амплитуда вынужденных колебаний. При а>->оо амплитуда колебаний стремится к нулю даже тогда, когда нет затухания. При со =0, что соответствует статическому смещению точки подвеса на расстояние х0, нижний конец маятника смещается из прежнего положения на такую же величину
