Физика в примерах и задачах - Бутиков Е.И.
Скачать (прямая ссылка):
Установившиеся вынужденные колебания всегда имеют такой же период, что и вызывающее их внешнее воздействие. Если это воздействие является синусоидальным, то и вынужденные колебания будут гармоническими, т. е. будут описываться формулой (1), в которой теперь со равна частоте внешнего воздействия. Амплитуда А и сдвиг по фазе ф для установившихся вынужденных колебаний не зависят от начальных условий, а определяются амплитудой внешнего воздействия и соотношением между его частотой со и частотой со0 собственных колебаний, которые возможны в рассматриваемой системе. Зависимость Л от со носит немонотонный характер. Резкое увеличение амплитуды вынужденных колебаний при приближении со к <в0 носит название резонанса.
Волны представляют собой процесс распространения колебаний. Несмотря на различную физическую природу, волны любого типа — механические, электромагнитные и другие — имеют много общего и подчиняются аналогичным закономерностям. Волна, возбуждаемая источником, совершающим гармоническое колебание; называется монохроматической.
Пусть колебания в некоторой точке происходят по закону
х (t) = A cos со/. (4)
Тогда при распространении волны от этой точки вдоль некоторого направления колебания в точке, отстоящей на расстоянии г, происходят с некоторым запаздыванием, определяемым временем прохождения волной этого расстояния:
х (t, г) = A cos о (/ — г/и). (5)
Здесь и — скорость распространения волны. Амплитуда колебаний А в плоской волне всюду одинакова, а в сферической волне убывает обратно пропорционально расстоянию от центра волны.
При одновременном распространении нескольких волн они просто накладываются одна на другую, не искажая друг, друга. Независимость распространения нескольких волн носит название принципа суперпозиции. Если эти волны создаются когерентными
342
VIII. КОЛЕБАНИЯ И ВОЛНЫ
источниками, то при их наложении возникает устойчивая интерференционная картина, в которой в некоторых точках колебания при сложении усиливают друг друга, а в других, наоборот, ослабляют.
1. Монета на вибрирующей подставке. Горизонтальная площадка может совершать гармонические колебания с частотой со либо в горизонтальном, либо в вертикальном направлении. При какой амплитуде колебаний монета будет смещаться относительно подставки?
Д Рассмотрим сначала вертикальные колебания подставки. При каком условии монета будет двигаться вместе с подставкой? На монету действуют сила тяжести и сила реакции подставки, которая может быть направлена только вверх. Пока сила реакции не обратится в нуль, монета будет двигаться вместе с подставкой. Условие отрыва монеты от подставки — обращение в нуль силы реакции. Итак, монета будет отрываться от подставки лишь тогда, когда ускорение подставки будет направлено вниз и превысит по модулю ускорение свободного падения g.
Пусть в момент времени /=0 подставка начинает двигаться вверх и ее вертикальная координата изменяется по закону
у (t)=B sin со/. (1)
При этом вертикальная проекция ускорения
ay(t)——(о2В sin tot. (2)
Чтобы найти момент времени /ь когда произойдет отрыв монеты, нужно положить ay(i1)=—g:
а>2В sin <ati=g. (3)
Графическое решение этого уравнения показано на рис. 1.1. Для того чтобы уравнение имело решение, т. е. действительно происходил отрыв монеты от подставки, должно выпол-
няться условие a>2B>g. Поэтому минимальная амплитуда вертикальных колебаний, при которой монета отделяется от подставки, дается формулой
Bmm = g№- (4)
Чем выше частота колебаний, тем меньше эта амплитуда. Отрыв монеты происходит, как видно из рис. 1.1, при движении подставки вверх от среднего положения, когда ее скорость уменьшается. Интересно отметить, что положение Ух точки отрыва при заданной частоте со не зависит от ам-
2. ДВИЖЕНИЕ МОНЕТЫ НА ВИБРИРУЮЩЕЙ ПОДСТАВКЕ 343
плитуды колебаний подставки. В самом деле, подставляя из (3) sin (oti=g/(i)2B в (1), находим y^g/a2.
До момента времени tx подставка и монета движутся вместе. Начиная с момента tx график движения монеты представляет собой параболу, которая имеет в точке tx общую касательную с синусоидой.
При горизонтальных колебаниях подставки движение монеты определяется действующей на нее силой трения.
У к в
Рис. 1.1. Момент отрыва „ монеты при вертикаль- “l ных колебаниях подставки
Пока ускорение подставки не превышает по модулю максимального ускорения которое может сообщить монете сила трения, монета движется вместе с подставкой. Если ускорение подставки в какой-то момент времени превысит это предельное значение, монета будет скользить по подставке. Уравнения для этого случая аналогичны уравнениям (1) и (2):
x(t)~A sin <ot, ax(t)=—0)V1 sin at. (5)
