Физика в примерах и задачах - Бутиков Е.И.
Скачать (прямая ссылка):
Л Если бы пружины отсутствовали, то рассматриваемая система представляла бы собой обычный математический маятник, совершающий колебания в поле тяжести. Частота собственных колебаний такого маятника а»! зависит от ускорения свободного падения g и от длины стержня I:
со l=g/l. (1)
Рис. 3.1. Колебания такого маятника обусловлены как силой тяжести, так и силами упругости
3. КОМБИНИРОВАННЫЙ МАЯТНИК
Наоборот, в отсутствие силы тяжести данная система превращается в обычный пружинный маятник, у которого масса т колеблется горизонтально около своего положения равновесия под действием упругих сил. Так как на тело действуют две пружины, то выражение для частоты собственных колебаний такого пружинного маятника имеет вид
(?>l~2k/in. (2)
Нетрудно получить выражение для частоты собственных колебаний рассматриваемого комбинированного маятника,
. когда на его движение влияют и сила тяжести, и упругие силы деформированных пружин.
Для этого, как обычно, нужно д
рассмотреть силы, действующие на выведенный из равновесного положения маятник, и написать уравнение второго закона Ньютона.
Пусть груз смещен из положения равновесия вправо на расстояние х (рис. 3.2). В этом положении на груз в горизонтальном направлении действуют две силы Fi и f2, направленные к положению равновесия. Сила Fi обусловлена действием поля тяжести. Если отклонение ямало по сравнению с длиной маятника 1(\х\<^1), то для проекции этой силы на ось х справедливо приближенное выражение
Fx=—mgx/l. (3)
Сила Fa представляет собой равнодействующую сил, действующих на груз со стороны пружин. При указанном на рис. 3.2 выборе направления оси х проекция силы, действующей на груз в положении равновесия со стороны правой пружины, равна k(s—s0), где s0 — длина недефор-мированной пружины, as — расстояние между концами пружины при равновесном положении груза. Если s>s0, т. е. пружина растянута, то эта сила направлена вправо, если пружина сжата (s<s0) — то влево. Проекция силы, действующей на груз в положении равновесия со стороны левой
Рис. 3.2. К вычислению сил, действующих на смещенный из положения равновесия груз
343
VIII. КОЛЕБАНИЯ И ВОЛНЫ
пружины, равна —k(s—s0). Когда груз смещен из равновесия на х (рис. 3.2), то со стороны правой пружины действует сила, проекция которой равна k(s—х—s0), а со стороны левой —k (sH-jc—s0). Поэтому проекция равнодействующей силы Fa равна их сумме
Fа=6 (s—x—-s0)—k (s+x—s0)=— 2kx. (4)
Отметим, что сила F2 направлена всегда к положению равновесия и не зависит от того, растянуты или сжаты пружины при равновесном положении груза.
С учетом выражений (3) и (4) уравнение второго закона Ньютона записывается в виде
та——mgxll—2kx. (5)
Обозначим, как это обычно принято, ускорение а, равное второй производной смещения х по времени, через х. Тогда уравнение (5) можно переписать следующим образом:
x + (g/l+ 2k/m) х = 0. (6)
Итак, второй закон Ньютона для рассматриваемой системы приводит к дифференциальному уравнению гармонических колебаний, квадрат частоты которых а>1 равен коэффициенту при х:
a>l—gll+2k/m. (7)
Сравнивая эту формулу с выражениями (1) и (2), убеждаемся, что квадрат частоты собственных колебаний комбинированного маятника равен сумме квадратов частот и (02, которые являются частотами собственных колебаний
маятника при действии каждой из причин, вызывающих
колебания, в отдельности:
col = of + col. (8)
Подмеченное свойство является довольно общим для колебательных процессов разной природы: если какая-либо физическая величина может совершать собственные колебания под действием нескольких причин, то при одновременном действии этих причин частота колебаний удовлетворяет правилу (8).
Полученный результат (7) или (8), разумеется, удовлетворяет предельным случаям, когда или жесткость пружин, или сила тяжести стремятся к нулю. Интересен предельный случай, когда неограниченно возрастает длина стержня /. При /->-оо мы приходим к такому же результату, как и при
4, НЕСИММЕТРИЧНЫЙ МАЯТНИК
349
g-+ 0. Роль стержня в этом случае сводится лишь к тому, чтобы поддерживать груз, совершающий колебания под действием пружин. ^
4. Несимметричный маятник. У такого же, как и в предыдущей задаче, маятника вместо пружин с одной стороны к грузу прикреплена гибкая резинка, проявляющая упругие свойства только при растяжении (рис. 4.1). Когда маятник расположен вертикально, резинка не натянута. Смещение груза вправо приводит к растяжению резинки, которое удовлетворяет закону Гука: F——kx. При смещении
Рис. 4.1. При вертикальном положении маятника резинка не растянута
Я? О
а
Рис. 4.2. При отклонении маятника влево резинка не влияет на его движение
