Физика в примерах и задачах - Бутиков Е.И.
Скачать (прямая ссылка):
так, чтобы центр масс все время оставался на одной вертикали. При этом смещение Si (рис. 7.2) груза маятника и смещение sa корпуса часов (в том числе и точки подвеса маятника) будут обратно пропорциональны их массам:
Si/S2=(M—т)!т. (1)
Из формулы (1) видно, что при т<?:М будет s2<gcsb т. е. амплитуда раскачиваний корпуса много меньше амплитуды колебаний маятника. Поэтому при /я<<5Л1 шнуры будут оставаться практически вертикальными уже тогда, когда их длина порядка длины маятника.
Приведенные рассуждения показывают, что для нахождения периода колебаний рассматриваемой системы можно непосредственно воспользоваться результатом решения задачи 6, заменив там, конечно, массу верхнего груза М на массу корпуса М—т:
7’-2„/==5==:-2„/Г(Г^). (2)
Обозначая через Т0 период колебаний маятника длиной I в неподвижных часах (Г0 — 2я Vl/g) и учитывая условие
8. СОБСТВЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ ДВОЙНОГО МАЯТНИКА 361
т/М<^ 1, формуле (2) можно придать вид
Подвешенные на шнурах часы будут спешить. Интересно отметить, что относительное изменение периода } АГ | _ Т0 — Т m
не зависит от длины маятника. Если, например, М=5 кг, т=200 г, то уменьшение периода составляет 2 % и за сутки подвешенные на шнурах часы уйдут вперед почти на полчаса. А
8. Собственные колебания двойного маятника. У двойного маятника точка подвеса неподвижна. Маятник выведен из равновесия таким образом, что при его дальнейшем свободном движении каждый из шариков совершает гармоническое колебание. Какова частота таких колебаний и каким образом их можно возбудить?
Л Если двойной маятник вывести нз равновесия произвольным образом и предоставить самому себе, то каждый из шариков будет, вообще говоря, совершать довольно сложное движение, в котором трудно уловить какую-либо закономерность. Однако при некоторых начальных условиях движение маятника оказывается очень простым: оба шарика совершают чисто гармоническое колебание с одной и той же частотой, причем амплитуды и фазы этих колебаний находятся во вполне определенном соотношении друг с другом. Такие типы движения называются нормальными колебаниями системы или ее модами.
Существуют определенные методы нахождения нормальных колебаний. Но во многих случаях их можно просто угадать, основываясь на симметрии рассматриваемой системы. Если считать, что колебания двойного маятника могут происходить не только в плоскости чертежа на рис. 6.1, но н в перпендикулярной плоскости, то можно сразу сообразить, что рассматриваемая система обладает осевой симметрией, причем осью симметрии является вертикаль, проходящая через точку подвеса.
Чтобы понять, как подмеченная осевая симметрия системы может помочь в нахождении нормальных колебаний, обратимся сначала к более простому примеру обыкновенного математического маятника. При малых амплитудах коле-
(3)
Т0 2 М
3G2
VIII. КОЛЕБАНИЯ И ВОЛНЫ
бания такого маятника являются гармоническими. Хорошо известно, что гармонические колебания маятника в определенной плоскости можно рассматривать как проекцию на эту плоскость такого движения, при котором нить маятника описывает круговой конус (рис. 8.1). Таким образом, гармоническое колебательное движение можно представить
I
I
I
I
I
I
I
Рис. 8.1. Проецируя круговое движение маятника на вертикальную плоскость, получаем гармоническое колебание
как проекцию некоторого кругового движения, поэтому нахождение нормальных колебаний в системе с осевой симметрией можно свести к нахождению возможных круговых движений в этой системе.
Какие же круговые движения возможны у двойног > маятника?
Легко сообразить (или даже «нащупать» экспериментально, играя с таким двойным маятником), что возможное круговое движение выглядит так, как показано на рис. 8.2: шарики движутся равномерно и синхронно по окружностям, лежащим в горизонтальных плоскостях, так что нити, которые в каждый момент находятся в одной вертикальной плоскости, описывают конические поверхности.
Теперь нетрудно найти угловую скорость со и соотношение между углами oci и оса, которые нити образуют с вертикалью. Для этого нужно применить второй закон Ньютона к движению каждого из шариков. Будем для простоты считать, что массы шариков равны, а верхняя и нижняя нити имеют одинаковую длину I. На рис. 8.3 показаны действующие силы. В случае малых углов, который нас толь-
Рис. 8.2. Возможное круговое движение двойного маятника
8. СОБСТВЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ ДВОЙНОГО МАЯТНИКА
363
ко и интересует, сила натяжения нижней нити 7\ практически не отличается от mg, а сила натяжения верхней нити Тг — от 2mg. Как видно из рис. 8.3, проекция действующей на нижний шарик силы 7\ на горизонтальное направление равна 7\sin ¦xtnga-i. Аналогично проекция сил натяжения нитей, действующих на верхний шарик, равна Тг sin а2—7\ sin а ttzmg (2аг—а^). Поэтому уравнения второго закона Ньютона для каждого из шариков в проекции на радиальное направление имеют вид
