Физика для поступающих в вузы - Бутиков Е.И.
Скачать (прямая ссылка):
Сравнивая формулы (1.1) и (1.2), можно отметить следующую формальную аналогию между скоростью и ускорением. Если скорость характеризует быстроту изменения радиус-вектора, то ускорение характеризует быстроту из-
§ 1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ КИНЕМАТИКИ ТОЧКИ J5
мгкеиия вектора скорости. Рассмотрим эту аналогию подробнее. Пусть конец радиус-вектора описывает некоторую траекторию, показанную на рис. 1.5, а. В каждый момент времени сектор скорости направлен по касательной к траектории. Изобразим все векторы скорости vlt v2 и т. д. так, чтобы они начинались в одной произвольной точке А
Рис. 1.6. Траектория (а) и годограф вектора скорости (6) при равномерном движении по окружности.
(рис. 1.5, б). При движении материальной точки по траектории конец вектора скорости на таком-чертеже будет описывать кривую MN, называемую годографом вектора скорости. Используя такое определение, можно сказать, что сама траектория материальной точки является годографом ее радиус-вектора. Теперь легко сообразить, что вектор ускорения на рис. 1.5, б будет в каждой точке направлен по касательной к годографу вектора скорости MN подобно тому, как вектор скорости направлен по касательной к траектории на рис.. 1.5, а.
Описанная аналогия может быть использована, например, для нахождения ускорения точки, равномерно движущейся по окружности (рис. 1.6, а). Годограф вектора скорости для такого движения показан на рис. 1.G, б. Пока материальная точка совершает один оборот но траектории, конец вектора скорости совершает один оборот по годографу. Величина скорости материальной точки связана с радиусом окружности R и периодом обращения Т соотношением
ь
а)
В)
2 nR
16
КИНЕМАТИКА
Аналогичное соотношение связывает величину ускорения а с радиусом годографа скорости и:
2пи
Сравнивая эти формулы, получаем
а = (1-3)
Сравнивая рис. 1.6, а и б, убеждаемся, что вектор ускорения а в каждый момент времени направлен противоположно ра-диус-вектору материальной точки для этого же момента времени, т. е. ускорение а направлено к центру окружности, являющейся траекторией движения.
В рассматриваемом примере равномерного движения точки по окружности вектор скорости изменяется только по направлению, оставаясь неизменным по абсолютной величине, т. е. по модулю. Вектор ускорения при этом направлен перпендикулярно вектору скорости, т. е. по нормали к траектории. Так будет при движении с постоянной по величине скоростью по любой траектории. Если же скорость точки меняется и по величине, то у вектора ускорения кроме нормальной составляющей, направленной перпендикулярно скорости, будет еще составляющая, направленная по или против вектора скорости в зависимости от того, увеличивается или уменьшается скорость по величине. Величина нормальной составляющей ускорения определяется по-прежнему формулой (1.3), где под R понимается радиус кривизны траектории в данной точке, т. е. радиус окружности, дуга которой приблизительно совпадает с участком траектории вблизи рассматриваемой точки. Величина составляющей ускорения, параллельной скорости и характеризующей изменение величины скорости, равна производной от величины скорости по времени dv/dt.
§ 2. Кинематика движения в однородном поле
Простейший случай неравномерного движения — это движение с постоянным ускорением. Такое движение происходит в постоянном во времени однородном силовом поле. Примером такого поля может служить поле тяготения вблизи поверхности Земли при условии, что движение тела
§2. КИНЕМАТИКА ДВИЖЕНИЯ В ОДНОРОДНОМ ПОЛЕ 17
происходит в области, линейные размеры которой малы по сравнению с радиусом Земли. Другой пример — действующее на заряженную частицу электрическое поле в пространстве между пластинами плоского конденсатора. Разумеется, движение тел в таких полях происходит с постоянным ускорением лишь при условии, что никакие другие силы, как, например, сопротивление воздуха, не действуют.
Уравнение движения тела, движущегося с постоянным ускорением а, имеет вид
г = г0 -f- v0t + — • (2-1)
При одном и том же ускорении а движение может выглядеть совершенно по-разному в зависимости от того, каковы начальные условия — положение тела г0 в начальный момент времени и начальная скорость Vo¦ Но во всех случаях это движение описывается одним и тем же уравнением (2.1). Такое движение происходит в одной плоскости, проходящей чер *з векторы ускорения а и начальной ско-,рости Vo• Легко получить уравнение траектории дви- .
жения. Будемдля определенности рассматривать движение вблизи поверхности Земли. Тогда ускорение а есть ускорение свободного падениями,следовательно,траектория лежит в вертикальной плоскости. Введем в этой плоскости систему координат следующим образом: ось х направим горизонтально, а ось у — вертикально вверх. Спроектируем векторное уравнение (2.1) на оси х и у. Пусть а — угол между направлением начальной скорости и осью х. Тогда
