Физика для поступающих в вузы - Бутиков Е.И.
Скачать (прямая ссылка):
% ~ COS <Х • ty /о о\
y^yo + Vo
Обычно бывает удобно выбрать систему координат так, чтобы ее начало совпадало с исходной точкой траектории (рис. 2.1). Тогда л:0=г/о=0 и уравнения (2.2) принимают вид х =
Рис. 2.1. Траектория движения материальной точки вблизи поверхности Земли.
= v0 cos а ¦ t,
/т/2
(2.3)
18
КИНЕМАТИКА
Чтобы получить уравнение траектории у=у(х), нужно исключить время из этих уравнений. Выражая t из первого уравнения и подставляя во второе, получим
у — х tg « - jgx2-— ¦ (2.4)
2v0 cos^ a
Это уравнение параболы, проходящей через начало координат. Ее ветви направлены вниз, так как коэффициент при х1 отрицателей. Используя хорошо известные свойства квадратного трехчлена, можно найти корни правой части выражения (2.4), ее наибольшее значение (/тах и значение х, при котором достигается значение утах. Корни трехчлена суть точки, в которых парабола (2.4) пересекает ось х. Один корень Xi—О соответствует начальной точке траектории, второй л;2=2 (vp'g) sin a -cos a= (v“0/g) sin 2a дает дальность полета тела по горизонтали. Вершина параболы лежит на ее оси симметрии, т. е. посередине между корнями при x^xi={vl!2g)s,m2a. Подставляя это значение х в (2.4), находим максимальную высоту подъема */max=(Uo/2g)sinaa. Если интересоваться тем, как будет меняться траектория при изменении направления начальной скорости, т. е. угла а, то удобнее преобразовать уравнение траектории (2.4) таким образом, чтобы оно содержало только какую-нибудь одну тригонометрическую функцию угла а. Для этого воспользуемся соотношением l/cos2a=l + tg2a. Подставляя его в (2.4), находим
у = х tga —(1+tg2a)f^. (2.5)
2 г о
Уравнение (2.5) описывает семейство параболических траекторий, зависящее от двух параметров: величины начальной скорости v0 и угла а. Решение кинематических задач о свободном падении в однородном поле тяжести фактически сводится к исследованию этого семейства.
В качестве примера рассмотрим баллистическую задачу
о стрельбе из ружья, пренебрегая сопротивлением воздуха. Прежде всего зададимся вопросом, как следует стрелять, чтобы попасть в цель, находящуюся на расстоянии S по горизонтали и на высоте /г над горизонтальной плоскостью, проходящей через ружье (рис. 2.2). Стреляя в цель, мы можем менять наклон ствола ружья а, но, разумеется, мы не в силах менять величину начальной скорости v0, так как она
§ 2. КИНЕМАТИКА ДВИЖЕНИЯ В ОДНОРОДНОМ ПОЛЕ 19
зависит от заряда патронов и устройства ружья. Поэтому будем считать v0 известной заданной величиной. Под каким же углом к горизонту следует направить ствол ружья?
Чтобы ответить на этот вопрос, потребуем, чтобы траектория, описываемая уравнением (2.5), проходила через цель, т.' е. точку с координатами x=S, y—h:
A = Stgo-(l + tg’«)fi\ (2.6)
2ч о
Это квадратное уравнение относительно tga. Решая его, получаем для корней следующее выражение:
*g а = I0»± y/vl — g(gs* + 2oJft)]. (2.7)
Если дискриминант не отрицателен, т. е.
vt-g[gS* + 2^h)^0, (2.8)
то уравнение имеет вещественные корни и, следовательно, при данной начальной скорости пули в цель попасть можно. Если при этом дискриминант положителен, т. е. уравнение (2.6) имеет два различных вещественных корня, то в цель можно попасть по двум различным траекториям. Траектория с меньшим значением угла а называется настильной, С Рис. 2.2. Траектория пули при большим — навесной. При стрельбе в цель,
равном нулю дискриминанте,
когда корни (2.7) совпадают, в цель при данном значении начальной скорости можно попасть единственным образом. Если же дискриминант отрицателен, то уравнение (2.6) не имеет вещественных корней и в цель при данном значении Vo попасть нельзя ни при каком значении угла а: ни одна из траекторий семейства (2.5) не «дотягивает» до этой цели. Отсюда ясно, что равенство нулю дискриминанта определяет ту минимальную начальную скорость и0тт> при которой еще можно попасть в данную цель:
^min = g{h-hV /l2 + S2).
С другой стороны, при заданном значении и0 равенство нулю' дискриминанта определяет координаты наиболее удаленных
20
КИНЕМАТИКА
целей, в которые еще можно попасть, т. е. границу области, простреливаемой из данного ружья. Выражая из (2.8) h (в случае равенства), находим
(2-9)
23 2vl '
Эта формула определяет наибольшую высоту цели, находящейся на расстоянии S от ружья по горизонтали, в которую еще можно попасть при данном v0. С ее помощью легко
получить уравнение границы простреливаемой области, если заменить координаты определенной наиболее удаленной цели S и ft на переменные величины х и у — координаты точек искомой границы:
