Физика для поступающих в вузы - Бутиков Е.И.
Скачать (прямая ссылка):
Тогда, как видно из рис. 5.2, мощность внешней силы будет больше диссипируемой мощности. Это приводит к росту энергии системы и восстановлению прежнего значения амплитуды колебаний.
Аналогично можно убедиться в том, что амплитуда вынужденных колебаний устойчива и по отношению к случайным отклонениям в сторону- возрастания.
До сих пор мы рассматривали установившийся режим вынужденных колебаний. А как происходит установление колебаний?
Пусть' в начальный момент осциллятор покоится в положении равновесия, т. е. начальные условия имеют вид
*(0)=0, х (0) = 0. (5.8)
В этот момент на него начинает действовать внешняя синусоидальная сила на частоте со, равной частоте со0 свободных колебаний осциллятора. К&к мы знаем, движение осциллятора будет описываться уравнением (4.4):
л:+ 2ух + ®1х = f0 cosa0t. (5.9)
Нам известно решение этого уравнения, описывающее установившиеся колебания, которые не зависят от начальных условий. Оно, согласно (4.8), имеет вид
x(t) = bcos ^со0/ — =&sincoBt. (5.10)
В этом выражении сдвиг фазы 0 между силой и смещением положен равным я/2, так как частота вынужденных коле-
Рис. 5.2. К исследованию устойчивости режима вы-11 у ж ден н ы х кол еб а ни й.
344
ВЫНУЖДЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ
баний в рассматриваемом примере равна частоте свободных колебаний со0. Однако это решение не удовлетворяет начальным условиям (5.8), так как, согласно (5.10), скорость х при t=0 не равна нулю. Как же найти решение уравнения (5.9), удовлетворяющее нашим начальным условиям? Такое решение обязательно должно переходить в (5.10) по мере установления колебаний, т. е. при t-*-оо. Поэтому попробуем искать решение в виде суммы выражения (5.10) и функции Ае~у‘ cos (ы0Н-а), описывающей собственные затухающие колебания осциллятора, т. е. являющейся решением уравнения (5.9) с правой частью, равной нулю, в случае малого затухания Такая сумма
A:(/) = 6sinco0/+ cos (со0/+ а) (5.11)
действительно является решением уравнения (5.9), в чем можно убедиться непосредственной подстановкой. В самом деле, уравнение (5.9) содержит функцию x(t) и ее производные только в первой степени, поэтому каждое слагаемое в выражении (5.11) можно подставлять в уравнение (5.9) по отдельности. Подстановка слагаемого 6sinco0/ в левую часть (5.9) дает /0 cos a0t, а подстановка второго слагаемого дает нуль.
Благодаря множителю e~yl второе слагаемое в (5.11) стремится к нулю при оо, и остается только член b sin a0t, описывающий установившиеся вынужденные колебания. Но при малых значениях времени t второе слагаемое в
(5.11) играет важную роль: наличие двух произвольных постоянных А и а позволяет удовлетворить любым начальным условиям. Полагая в (5.11) t=0 и учитывая первое из начальных условий (5.8), получим
0—A cos а,
откуда а=я/2 и cos (а)0/-Ьа) в (5.11) равен —sin a0t. При нахождении скорости х из (5.11) учтем, что при малом затухании, когда уСсоо, сомножитель e~yl почти не изменяется на протяжении периода колебаний. Поэтому при дифференцировании x{t) его можно считать постоянным:
x(t) = b со0 cos a0t—Ae~yia>0 cos сoQt. (5.12)
.Полагая здесь t=0 и учитывая второе начальное условие
(5.8), получаем
О^Ьщ—Л со0,
$5. ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЕ ПРЕВРАЩЕНИЯ ПРИ КОЛЕБАНИЯХ 345
откуда А =>&. Теперь выражение (5.11) принимает вид х (t) = b sin ы^—Ье-У1 sin ©0/ => Ь (\ —е-**) sin a0t. (5.13)
Первое слагаемое в (5.13) fesin со0/ представляет собой гармоническое колебание постоянной амплитуды и соответствует установившимся вынужденным колебаниям. Второе
Рис. 5.3. Процесс установления вынужденных колебаний при резонансе.
слагаемое соответствует собственным затухающим колебаниям. Поэтому процесс установления колебаний можно представить себе таким образом: в начале процесса в системе одновременно присутствуют и вынужденные, и собственные колебания, причем амплитуда и фаза последних таковы, чтобы результирующее колебание удовлетворяло начальным условиям. Графики этих колебаний показаны на рис. 5.3
При малом затухании результирующее колебание x(t) в (5.13) можно рассматривать как синусоидальное колебание с частотой со0, амплитуда которого медленно нарастает со временем (рис-. 5.3). Характерное время
346
ВЫНУЖДЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ
установления амплитуды колебаний т=1/у совпадает со временем жизни собственных затухающих колебаний в той же системе.
Подведем некоторые итоги. При очень малом затухании амплитуда в резонансе будет очень большой, но ее установление длится очень долг.о. Чем более резко выражен
Рис. 5.4. Установление вынужденных колебаний при ш<ш0.
резонанс, тем медленнее происходит установление. Это легко понять и с помощью энергетических соображений: чем острее резонанс, тем.больше запасаемая системой энергия и, следовательно, тем больше времени требуется для того, чтобы сообщить системе эту энергию.
