Физика для поступающих в вузы - Бутиков Е.И.
Скачать (прямая ссылка):
Рис. 2.6. Фазовая диаграмма колебаний при сухом трении, соответствующая графику на рис. 2.5.
326
СОБСТВЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ
подвижной системы при измерениях. Неизбежно присутствующее сухое трение приводит к существованию области застоя около положения равновесия стрелки прибора при проведении измерения. Из рис. 2.5 и 2.6 видно, что остановка после колебаний может произойти в любой точке области застоя в зависимости от начальных условий. Поэтому остановка стрелки прибора происходит не точно на том делении шкалы, которое соответствует измеряемой величине, а в какой-либо точке области застоя вблизи этого деления. Для уменьшения ошибки измерений сухое трение стремятся свести к минимуму. Один из способов уменьшения сухого трения — применение смазки. При этом трение становится пропорциональным скорости и затухание происходит в соответствии с законом (2.15). Стрелка при этом должна остановиться в положении равновесия. Чтобы успокоение подвижной системы прибора не происходило слишком долго, применяются так называемые демпфирующие устройства, гасящие колебания. Эти устройства не должны ухудшать точность прибора, поэтому вводимое ими трение должно быть пропорционально скорости.
§ 3. Энергетические превращения при собственных колебаниях
При изучении колебаний, как и любого другого физического явления, мы всегда вынуждены упрощать рассматриваемую систему, стремясь тем не менее сохранить в выбранной идеализированной модели наиболее важные черты явления. Однако никакую идеализацию нельзя продолжать до бесконечности, нужно всегда отдавать себе отчет, до каких пределов остается справедливой выбранная модель. Но и в рамках выбранной модели иногда еще остаются вопросы, связанные с условиями* применимости приближений, использованных при конкретных расчетах.
Проанализируем с этой точки зрения те приближения, которые были использованы в § 1 при изучении колебаний груза, подвешенного на упругой пружине. Задумаемся над вопросом, в чем смысл сделанного там предположения о малости массы пружины по сравнению с массой груза. Ведь при выводе уравнения движения груза (1.5) предположение об этом, казалось бы, нигде не использовалось. Действительно, мы воспользовались вторым законом Ныо-
S3. ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЕ ПРЕВРАЩЕНИЯ ПРИ КОЛЕБАНИЯХ 327
тона для груза (1.2), в который входит масса груза т, но не входит масса пружины. Однако уравнение колебаний груза (1.5)' все-таки справедливо только в том случае, когда масса пружйны достаточно мала.
На первый взгляд может показаться, что дело здесь только в том, что массивная пружина будет растянута еще и под действием собственной тяжести, так что действующая на груз со стороны пружины сила уже не будет равна k(x^rxu), как в уравнении (1.2). Однако дело совсем не в этом. И при горизонтальном расположении пружины (рис. 2.4) в отсутствие трения уравнение (1.5) справедливо лишь тогда, когда масса пружины мала по сравнению с массой груза. В противном случае нужно учитывать движение самой пружины. В самом деле, при получении закона движения (1.5) предполагается, что если конец пружикы оттянут на расстояние х, то действующая на груз сила равна —kx. Но это верно только в статическом случае, если пружина растягивается достаточно медленно. При ускоренном движении груза (а следовательно, и пружины) пружина в разных своих частях растянута по-разному, и ее растяжение уже не пропорционально силе. При этом пружина уже не ведет себя квазистатически: она сама может колебаться как система с распределенными параметрами. Но если масса пружины мала по сравнению с массой прикрепленного к ней груза, то можно не считаться с этими колебаниями, так как они «быстрые» по сравнению с колебаниями груза на пружине и очень быстро затухают.
В самом деле, частота колебаний груза, как видно из формулы (1.4), пропорциональна квадратному корню из отношения жесткости пружины к массе груза. При оценке частоты собственных колебаний пружины можно считать, что ее зависимость от жесткости пружины и массы имеет такой же вид. Поэтому при малой массе пружины частота колебаний велика по сравнению с частотой колебаний груза. Если для простоты предположить, что число колебаний за время их жизни одинаково по порядку величины как для колебаний груза, так и для колебаний самой пружины, то затухание высокочастотных колебаний пружины происходит за значительно меньшее время, чем затухание колебаний груза. Поэтому такие колебания пружины могли бы сыграть роль только в первый момент, когда они еще не затухли. Если в начальный момент пружина деформи-
328
СОБСТВЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ
рована однородно, то эти колебания вообще не возникают (разумеется, при условии, что масса пружины много меньше массы груза).
Если же в начальный момент пружина деформирована неоднородно, то такие быстрые колебания пружины как ... распределенной системы
1фЛП!№ф~
'А
I
(д|
Рис. 3.1. В начальный момент растянута только левая половина пружины.
обязательно возникнут, но быстро затухнут, так что за время существования этих колебаний груз еще не успеет заметно сдвинуться с места. Что же может произойти в системе из-за этих колебаний?
