Физика для поступающих в вузы - Бутиков Е.И.
Скачать (прямая ссылка):
Рис. 7.4. Зависимость напряжения на конденсаторе от Бремени.
разряд в лампе прекращается, и конденсатор опять начинает заряжаться. Затем все повторяется снова. График зависимости напряжения на конденсаторе от времени U (/) приведен на рис. 7.4.
Автоколебания, происходящие в генераторе на неоновой лампе и в рассмотренном выше гидравлическом устройстве, носят название релаксационных. Для таких колебаний характерно постоянное накопление энергии системой до некоторой величины, а затем быстрое «избавление» от накопленной энергии. Аналогом накопительного бачка в гидравлическом устройстве является конденсатор в генераторе пилообразного напряжения, аналогом сифона является неоновая лампа, а роль крана играет сопротивление R.
Возможные типы автоколебаний не исчерпываются рассмотренными примерами. Форма колебаний не обязательно бывает синусоидальной или пилообразной ¦— она может быть какой угодно другой. Это относится не только к автоколебаниям, но и ко всем колебаниям вообще, включая и собственные, и вынужденные.
Синусоидальные колебания, конечно, занимают особое место. Во-первых, потому, что они очень часто встречаются: малые колебания вблизи устойчивого положения равновесия можно считать синусоидальными, так как в непо-
§ 7. НЕСИНУСОИДАЛЬНЫЕ КОЛЕБАНИЯ
359
средственной окрестности минимума потенциальной энергии ее зависимость от смещения можно считать квадратичной. Во-вторых, такие колебания достаточно просты для математического исследования, и часто оказывается удобным представлять более сложные колебания как суперпозицию простых гармонических колебаний.
В общем случае кесинусоидальные колебания сложнее синусоидальных. Но можно привести примеры таких
систем, в которых несинусоидальные колебания могут быть легко исследованы. Приведем несколько примеров несинусоидальных собственных колебаний.
Простейший пример — это движущийся без трения по горизонтали упругий шарик, поочередно отражающийся от двух параллельных вертикальных стенок (рис. 7.5). Если удар о стенку считать абсолютно упругим, то неизменная по величине скорость шарика практически скачком меняет направление у стенки. Фазовая траектория движения шарика радиуса г показана на нижней части рис. 7.5. Обратим внимание, что скорость шарика, а следовательно, и период колебаний, в отличие от синусоидальных колебаний, зависят от начальных условий.
Другой пример — шарик, свободно падающий в поле тяжести и упруго отражающийся от горизонтальной плиты. Период колебаний шарика зависит от максимальной высоты подъема h, которая определяется начальными условиями, и равен 2 У 2h/g. Зависимость скорости шарика от его
\\
v
v \
-_-А
v
о
-Vlgii
Рис. 7.5. Шарик, упруго отражающийся от стенок, и его фазовая траектория.
Рис. 7.6. Фазовая траектория шарика, отскакивающего от горизонтальной упругой плиты в поле тяжести.
360
волны
высоты х легко определяется с помощью закона сохранения энергии:
v(x)=*±Vr2g(h—x). (7.1)
Фазовая траектория, изображенная на рис. 7.6, состоит из вертикального участка, соответствующего мгновенному изменению скорости шарика при ударе о плиту, и параболы, определяемой уравнением (7.1). Для удобства начало отсчета высоты шарика х выбрано на высоте г над плитой, где г —. радиус шарика.
ВОЛНЫ
§ 8. Колебания связанных маятников
Волны представляют собой процесс распространения колебаний. Волны бывают самой разнообразной природы: в зависимости от того, что колеблется и где распространяется, различают звуковые волны в упругой среде, волны
-WWWV^' ¦
о 6
а) 6) 6)
Рис. 8.1. Связанные маятники и их нормальные моды.
на поверхности воды, электромагнитные волны в пустоте или в веществе и т. п. Несмотря на различную физическую природу, волны любого типа, как и колебания разной природы, имеют очень много общего и подчиняются аналогичным закономерностям. Поэтому целесообразно изучать их совместно.
Чтобы получить представление о процессе распространения колебаний, рассмотрим простую механическую систему. Пусть два одинаковых маятника с жесткими стержнями соединены слабой пружиной ничтожной массы так, как показано на рис. 8.1, а. Маятники могут совершать
ja КОЛЕБАНИЯ СВЯЗАННЫХ МАЯТНИКОВ
361
колебания в плоскости чертежа. Когда они висят вертикально, пружинка не деформирована.
В отличие от всех колебательных систем, рассмотренных выше, такие связанные маятники представляют собой механическую систему с двумя степенями свободы. Для задания механического состояния этой системы нужно указать положения и скорости обоих маятников. Какие колебания возможны в такой системе?
Рассмотрим сначала собственные колебания, которые возникают, если систему вывести из состояния равновесия и предоставить самой себе. Вид этих колебаний определяется начальными условиями. Если, например, отклонить оба маятника из положения равновесия в одну сторону на один и тот же угол и отпустить (рис. 8.1, б), то маятники будут качаться синхронно н пружинка будет все время оставаться в недефор тированном состоянии. Это значит, что пружинка не оказывает на такое движение маятников никакого влияния. Каждый из маятников совершает гармоническое колебание, а амплитуды и фазы у них одинаковы. Частота этих колебаний оз, совпадает с частотой собственных гармонических колебаний одиночного маятника. Обозначая смещения маятников через хх и х2, а начальное отклонение через А, можем написать
