Физика для поступающих в вузы - Бутиков Е.И.
Скачать (прямая ссылка):
Проделаем такой опыт. Захватим пружину, изображенную на рис. 2.4, за середину и растянем ее левую половину на некоторую величину хх (рис. 3.1). Вторая половина пружины остается в недеформированном состоянии, так что груз в начальный момент смещен из положения равновесия вправо на величину х± и покоится. Затем пружину отпустим.
К каким особенностям приведет то обстоятельство, что
в начальный момент пружина деформирована неоднородно?
Если бы при смещении груза на х± пружина была деформирована однородно, то движение груза в отсутствие тре--ния представляло бы собой гармоническое колебание около положения равновесия с частотой ы = У k/т и амплитудой Xi.
х {i)=x1 cos at. (3.1)
Начальная фаза колебаний в формуле (3.1) равна нулю, поскольку при t=0 груз смещен из положения равновесия на расстояние хи равное амплитуде колебаний. Однако В' нашем случае пружина в начальный момент деформирована неоднородно — разные части пружины деформированы по-разному. '
При. одно родной начальной деформации пружины запас механической энергии системы равен kxj/2. При начальных условиях нашей задачи, когда растянута на Xt половина пружины, запас энергии равен 2kx\/2, ибо, как нетрудно сообразить, жесткость «половины» пружины равна 2k.
§ 8. ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЕ ПРЕВРАЩЕНИЯ ПРИ КОЛЕБАНИЯХ 329
После затухания быстрых колебаний натяжение в пружине перераспределяется, а смещение груза остается равным хи так как груз за это время не успевает заметно сдвинуться. Деформация пружины становится однородной, а энергия системы становится равной kx\/2. Таким образом, роль быстрых колебаний пружины свелась к тому, что 'запас энергии системы уменьшился до того значений, которое соответствует однородной начальной деформации, пружины. Ясно, что дальнейшие процессы в системе не отличаются от случая однородной начальной деформации. Зависимость смещения груза от времени x(t) выражается той же самой формулой (3.1). Напомним еще раз, что приведенное рассуждение справедливо при условии, что время затухания быстрых колебаний пружины много меньше периода колебаний груза на пружине.
В рассмотренном примере в результате быстрых колебаний превратилась во внутреннюю энергию (в тепло) ' половина первоначального запаса механической энергии. Ясно, что, подвергая начальной деформации не половину, а произвольную часть пружины, . можно превратить во внутреннюю энергию любую долю первоначального запаса механической энергии. Но во всех случаях энергия колебаний груза на пружине соответствует запасу энергии при той же по величине однородной начальной деформации пружины.
Теперь представьте себе, что, не разобравшись в особенностях начальных условий, мы прямо применили бы закон сохранения механической энергии! Закон, сохранения энергии универсален — мы много раз могли убедиться в этом. Но для его правильного применения нужна исчерпывающая «бухгалтерия»: необходимо тщательно разобраться, какие превращения энергии возможны в рассматриваемом явлении.
Таким образом, использованная при рассмотрении колебаний груза на пружине модель правильно описывает систему лишь в отсутствие колебаний пружины как распределенной системы. Несмотря на то, что эти колебания быстро прекращаются и не влияют на дальнейшее движение груза, они могут сильно отразиться на энергетических превращениях в системе.
А какие идеализации были сделаны при выводе уравнения (1.9) для колебаний в контуре? Чтобы разобраться
330
ВЫНУЖДЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ
в этом, рассмотрим следующий пример, аналогичный разобранному выше случаю механических колебаний при неоднородной начальной деформации пружины.
В схеме, изображенной на рис. 3.2, левый конденсатор емкости Ci имеет заряд q^, а правый — емкости С3 — не
заряжен. Найдем колебания в кон-
^-----?— | туре после замыкания ключа
ег
I
Используя аналогию между ме-L ханическими и электромагнитными ^ колебаниями, мы можем представить себе картину происходящих
в рассматриваемой системе процес-Рис. 3.2. Колебательный CQB контур, эквивалентный U
механической системе на При замыкании ключа возни-
рис. 3.1. кают быстрые затухающие колеба-
ния в контуре, состоящем из конденсаторов и соединяющих их проводов. Период таких колебаний очень мал, так как мала индуктивность соединительных проводов. В результате этих колебаний заряд на пластинах конденсаторов перераспределяется, после чего два конденсатора можно рассматривать как один. Но в первый момент, как и в рассмотренной механической системе, ''того делать нельзя, ибо вместе с перераспределением зарядов происходит и перераспределение энергии, часть которой переходит в тепло.
После затухания быстрых колебаний в системе происходят колебания, как в контуре с одним конденсатором емкости С^+Сг, заряд которого в начальный момент равен q0. Как в механической системе необходимым условием справедливости приведенного рассуждения является малость массы пружины по сравнению с массой груза, так здесь — малдсть индуктивности соединительных проводов по сравнению с индуктивностью катушки.
