Физика для поступающих в вузы - Бутиков Е.И.
Скачать (прямая ссылка):
ющее установившееся вынужденное колебание? При изучении переменного тока мы видели, что в последовательном контуре под действием синусоидального внешнего напряжения устанавливаются также синусоидальные колебания тока, происходящие с той же частотой, но с некоторым сдвигом по фазе относительно приложенного напряжения. Но эти колебания описываются уравнением (4.6). Значит, ^ установившиеся вынужденные колебания в любой системе, описываемой таким уравнением, будут происходить по
синусоидальному закону с частотой внешнего воздействия. Поэтому решение уравнений (4.6) или (4.4), которое
334
ВЫНУЖДЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ
описывает не переходный процесс, а именно установившиеся колебания, следует искать в виде
x(t)—b cos (со?—0), (4.8)
где частота со совпадает с частотой в правой части уравнения (4.4), а постоянные амплитуда b и сдвиг фазы 0
нужно выбрать так, чтобы функция (4.8) являлась реше-
нием уравнения (4.4). Амплитуду b и сдвиг фазы 0 удобно определить с помощью векторных диаграмм, подобно тому как это делалось при изучении переменного тока.
Сопоставим каждому члену уравнения (4.4).вращающийся с угловой скоростью вектор, величина которого равна амплитудному значению этого члена. Мгновенное значение каждого члена получается проектированием соответствующего вектора на некоторое заранее выбранное направление. Поскольку проекция суммы нескольких векторов равна сумме проекций этих векторов, то уравнение (4.4) означает,
Рис. 4.4. Векторная диаграмма вынужденных колебаний, описываемых уравнением (4.4).
что сумма векторов, сопоставляемых членам, стоящим в левой части, равна вектору, сопоставляемому величине /о cos со/, стоящей в правой части. Чтобы построить эти векторы, выпишем мгновенные значения всех членов левой части уравнения (4.4), учитывая, что x(t) дается формулой
(4.8):
СОо-Х = СОо b cos (со/ —0),
2ух = — 2Yco6sin(co?—0) = 2-усоб cos ^со/ — Q + y) . (4.9) х — — со26 cos (со/—0) = со26 cos (со/—G я).
Из формул (4.9) видно, что вектор длиной 2усоЬ, сопоставляемый величине 2ух, опережает на угол п/2 вектор со\Ь, сопоставляемый величине со^х:. Вектор со2Ь, сопоставляемый
5 4. ГАРМОНИЧЕСКИЙ ОСЦИЛЛЯТОР. РЕЗОНАНС 335
члену х, опережает на п вектор со lb, т. е. эти векторы направлены в противоположные стороны. Взаимное расположение этих векторов для произвольного момента времени показано на рис. 4.4. Вся система векторов вращается как целое с угловой скоростью со против часовой стрелки вокруг точки б. Мгновенные значения всех величин получаются проектированием соответствующих векторов на заранее
N
и)гВ
Рис. 4.5. Вектор /0 сопоставляется правой части уравнения (4.4).
выбранное направление NN. Вектор, сопоставляемый правой части уравнения (4.4), равен сумме векторов, изображенных на рис. 4.4. Это сложение показано на рис. 4.5. Применяя теорему Пифагора, получим
/о = (соо—со2)2 Ь2 4- 4y2co262,
откуда находим амплитуду установившихся вынужденных колебаний Ь:
Ь=... _^= /°-г : - . (4.10)
V(m—ел2)2 4- 4у2со2
Сдвиг фазы 0 между вынуждающей силой / (t) и смещением x(t), как видно из векторной диаграммы на рис. 4.5, равен
tg0 = 4l^_ (4.11)
со0 — wJ
Итак, установившиеся вынужденные колебания происходят по гармоническому закону (4.8), где 6 и 0 определяются формулами (4.10) и (4.11).
Амплитуда установившихся вынужденных колебаний пропорциональна амплитуде вынуждающей силы /0. Исследуем зависимость амплитуды колебаний от частоты со вынуждающей силы. При малом затухании у эта завися-
336
ВЫНУЖДЕННЫ? КОЛЕБАНИЯ
мость носит очень резкий характер. Если 7=0, то при стремлении со к частоте свободных колебаний со„ амплитуда-вынужденных колебаний b стремится к бесконечности, как видно из формулы (4.10). При наличии затухания амплитуда колебаний в резонансе уже не обращается в бесконечность, хотя и значительно превышает амплитуду колебаний под действием внешней силы той же величины,
Рис. 4.6. Зависимость амплитуды установившихся вынужденных колебаний от частоты внешней силы.
но имеющей частоту, далекую от резонансной. Резонансные кривые при разных значениях постоянной затухания у приведены на рис. 4,6. Для нахождения частоты резонанса сорез нужно найти, при каком со подкоренное выражение в формуле (4.10) имеет минимум. Приравнивая производную этого выражения по со нулю (или дополняя его до полного квадрата), убеждаемся, что максимум амплитуды вынужденных колебаний имеет место при
®рез =»к«й-2у*. (4.12)
¦ф
Резонансная частота оказывается меньше частоты свободных колебаний системы. При малых v резонансная частота практически совпадает с ш0.
И- ГАРМОНИЧЕСКИЙ ОСЦИЛЛЯТОР. РЕЗОНАНС 337
