Физика для поступающих в вузы - Бутиков Е.И.
Скачать (прямая ссылка):
Построим фазовые траектории для гармонического осциллятора. Поскольку при свободных колебаниях энергия системы сохраняется, то все точки замкнутой фазовой траектории соответствуют одному и тому же значению энергии. Поэтому уравнение фазовой траектории представляет собой уравнение закона сохранения энергии:
~ kx1 + у mv2x = Переписывая это уравнение в виде
¦ Е.
*1 v* _ 1
2Е/к "г 2Е/т ~ '
(1.19)
(1.20)
убеждаемся, что фазовая траектория гармонического осциллятора представляет собой эллипс с полуосями \r2Ejk и Y^E/m (рис. 1.5). При колебаниях состояние осциллятора меняется таким образом, что изображающая точка движется по эллипсу почасовой стрелке и совершает полный оборот за время, равное периоду колебаний Т=2л/со0. В этом легко убедиться с помощью формул (1.13), дающих зависимость х и vx от времени. Из этих формул, разумеется, можно получить и само уравнение фазовой траектории (1.20), если исключить из них время. Для этого нужно обе части первой из формул (1.1'3) разделить на Л, второй — на со0Л, возвести получившиеся выражения в квадрат и сложить.
г"1 W-&
У /77
41 _>if
Рис. 1.5. Фазовая траектория гармонического осциллятора.
§1. СВОБОДНЫЕ КОЛЕБАНИЯ ОСЦИЛЛЯТОРА 3|7
В результате получим
что совпадаете уравнением (1.20), ибо ?=у kA2~~ ты1А*.
Интересно сопоставить вид фазовой траектории с графиком потенциальной энергии (рис. 1.6). На верхней части рисунка изображена потенциальная энергия осциллятора и показаны два значения полной энергии системы Е\ и Е\. На нижней части изображены две фазовые траектории осциллятора, соответствующие колебаниям с такими значениями энергии.
Скорость обращается в нуль в тех точках, где потенциальная энергия становится равной полной энергии, т. е. в точках максимального смещения из положения равновесия. Величина скорости максимальна при прохождении положения равновесия х=0, где потенциальная энергия обращается в нуль. Масштаб графика фазовой траектории по оси vx произволен и не связан с графиком потенциальной энергии. Удобно масштаб графика выбрать так, чтобы одинаковые по величине отрезки соответствовали единице по оси х и со0 по ocir vx. Тогда при любой амплитуде колебаний А полуоси эллипса на фазовой диаграмме А и ы0А- будут одинаковы и эллипс превратится в окружность (рис. 1.7). Точка, изображающая состояние осциллятора, движется по этой окружности по часовой стрелке е постоянной скоростью. Из рис. 1.7 видна связь движения изображающей точки в фазовой плоскости с временной зависимостью координаты x(t) и скорости vx(t) осциллятора. При построении фазовых диаграмм мы будем выбирать масштаб по осям именно таким образом.
В дальнейшем мы увидим, что метод фазовых траекторий оказывается очень эффективным и при изучении более
гия и фазовая траектория.
318
СОБСТВЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ
сложных, чем гармонические колебания, движений. Он дает наглядное представление о характере движения даже
Рис. 1.7. Связь фазовой траектории с графиками смещения и скорости.
тогда, когда не удается получить аналитическое решение уравнений движения.
»
§ 2. Затухающие колебания
Свободные колебания, рассмотренные в предыдущем параграфе, представляют собой некоторую идеализацию. В реальных системах механическое движение всегда происходит в какой-либо внешней среде, которая оказывает сопротивление движению. Наличие сил трения приводит к рассеянию, или, как говорят, к диссипации, механической энергии. Диссипация энергии колебаний происходит в любых реальных колебательных системах. Например, в колебательном контуре всегда имеется активное сопротивление, на котором происходит выделение тепла при прохождении тока. Поэтому собственные колебания фактически всегда являются затухающими.
Рассмотрим сначала затухающие механические колебания. При движении тела в среде при малых скоростях
§2. ЗАТУХАЮЩИЕ КОЛЕБАНИ Я 319
силу сопротивления можно считать пропорциональной скорости тела:
FTP = -p®. (2.1)
Поэтому уравнение (1.3) колебания груза, подвешенного на пружине, при наличии трения будет иметь вид
тх =— kx—$х, (2.2)
где через х обозначена производная смещения х по времени, т. е. проекция скорости тела. Вводя обозначения
перепишем уравнение (2.2) в виде
X + 2ух + cojjx = 0. (2.4) Рис. 2.1. Колебательный кон-
Покажем, что точно таким же уравне- тур с сопротив-нием описываются колебания в контуре, лением. содержащем последовательно соединенные конденсатор емкости С* катушку индуктивности L и резистор сопротивления R (рис. 2.1). Сумма напряжений на отдельных элементах цепи Uc, UL и U rb любой момент времени равна нулю:
UL+UR+UC=0. (2.5)
Подставляя в (2.5) (Jc=q/C, UL=Lq и UR=Rq, получим Lq -{-Rq -{--^=0. (2.6)