Физика для поступающих в вузы - Бутиков Е.И.
Скачать (прямая ссылка):
А что будет, если каким-либо способом добиться того, чтобы перескоков от одного положения равновесия к другому не происходило? Этого легко добиться, например, положив прикрепленный к пружине брусок на ленту транспортера, которая движется со скоростью и, большей максимального значения скорости колебаний груза на пружине (рис. 6.1). Поскольку в этом случае на •брусок'все время действует постоянная сила трения \irng, направленная направо, то уравнение движения бруска имеет вид
т'х= — kx + \img. (6.1)
Это уравнение описывает гармонические колебания с частотой со0 == Уk[tn около нового положения равновесия
Рис. 6.1. Колебания груза на движущейся ленте транспортера при наличии сухого трения.
350
ВЫНУЖДЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ
*0, в котором пружина находится в растянутом на величину Xo=|img/k состоянии. Тогда уравнение (6.1) можно записать в виде
х = — аЦх—х0). (6.2)
Это значит, что координата бруска х зависит от времени по следующему закону:
д:(/)=Л'о+Л cos со0/. ’ (6.3)
В выражении (6.3) иаиало отсчета времени выбрано в момент наибольшего смещения бруска направо. Скорость движения бруска а- в этом случае равна
x(i) = — Лсо0 sin со0/. (6.4)
Фазовая траектория этого движения изображена на нижней части рис. 6.1. В координатах х, х/а0 она представляет собой окружность с центром в точке х0. Изображающая состояние бруска точка движется вдоль фазовой траектории по часовой стрелке. Радиус окружности равен амплитуде колебаний Л, и он, как было указано, меньше величины и/соо, где и — скорость ленты транспортера.
Рассмотрим описанные колебания груза с точки зрения энергетических превращений в системе. Прежде всего вспомним, что в отсутствие трения фазовая траектория свободных колебаний представляет собой окружность с центром в начале координат (рис. 1.7). Так как энергия в такой системе постоянна, то всем точкам этой окружности соответствует одна и та же энергия. Энергия осциллятора пропорциональна квадрату радиуса окружности. Чем дальше лежит изображающая состояние точка от начала координат, тем больше энергия системы в' этом состоянии.
Теперь из фазовой диаграммы на рис. 6..1 видно, что на нижней половине окружности, соответствующей движению бруска справа налево, энергия системы убывает, а на верхней полуокружности, т. е. .при движении слева направо, энергия возрастает. Эти изменения энергии обусловлены исключительно действием силы трения. Пока брусок движется справа налево, сила трения направлена против скорости и тормозит движение бруска, уменьшая энергию системы. Но при движении слева направо сила
§6. АВТОКОЛЕБАНИЯ
351
трения направлена вдоль скорости и, подталкивая брусок, увеличивает энергию системы. Это и приводит к возможности существования незатухающих колебаний в системе: убыль энергии за одну половину периода восполняется за другую половину. И все это происходит в результате действия постоянной силы трения.
Приведенные результаты можно проиллюстрировать и о помощью закона сохранения энергии. Действительно, полная энергия, бруска на пружине при рассматриваемых колебаниях равна
Е = ЕК + ?п = у/шс2 + у?;<2 =
= у та>1 A2 sin2 со0/ + у k (х0 + A cos со0/)2.
Раскрывая скобки в последнем слагаемом и перегруппировывая члены, найдем
Е =у?(*2 + A2) + kx0A cosco0/, (6.5)
Выражение для энергии (6.5) содержит осциллирующее слагаемое, среднее значение которого за период равно нулю. Из (6.5) легко найти скорость изменения энергии dE/dt:
HF
¦jf = — ?л:0Лсо0 sin со0Л (6.6)
В соответствии с законом сохранения энергии эта величина должна быть равна мощности действующей на брусок силы трения. Непосредственно вычисляя мощность силы трения:
^тр = (0 = — kx0a0A sin со0/, (6.7)
убеждаемся, что она совпадает с правой частью выражения
(6.6). Таким образом, мощность силы трения на протяжении периода колебаний принимает и отрицательные, и положительные значения, а ее работа за период равна нулю: по истечении целого периода энергия системы принимает прежнее значение.
Если бы лента транспортера была неподвижной, то, каЕ? видно из формулы (6.7), мощность силы трения была бы
352
ВЫНУЖДЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ
все. время отрицательной, так как сила трения меняла бы свое направление одновременно с изменением направления скорости. Это приводило бы к быстрому прекращению колебаний.
Остановимся на особенностях выделения тепла в результате трения в рассматриваемом примере. Сила трения, действующая со стороны бруска на ленту транспортера, постоянна и равна \irng, или кх0. Поэтому приводящий ленту в движение со скоростью и мотор развивает постоянную мощность Р, равную kx0u. Если бы брусок не совершал колебаний, то выделяющееся в единицу времени тепло было бы равно этой мощности. При колебаниях же бруска только среднее значение скорости выделения тепла равно kx0u. В те половины периодов колебание, когда действующая на брусок сила трения увеличивает энергию осциллятора, скорость выделения тепла меньше этого среднего значения kx0u. В те половины периодов, когда сила трения 'уменьшает энергию осциллятора, скорость выделения тепла превосходит мощность, развиваемую мотором. Все это отчетливо видно из выражения для скорости выделения тепла dQ/dt, которая определяется относительной скоростью ленты и бруска и — х:
