Физика для поступающих в вузы - Бутиков Е.И.
Скачать (прямая ссылка):
Вводя обозначения
a,>=zL, 2V=f, (2.7)
перепишем уравнение (2.6) в виде
q + 2yq + &lq = 0, (2.8)
что совпадает с уравнением (2.4). Таким образом, и при
наличии затухания как механические колебания груза на пружине, так и колебания в контуре происходят по одинаковому закону.
320
СОБСТВЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ
Не будем пока решать уравнение (2.4) или (2.8), а попробуем выяснить, как влияет наличие сопротивления на колебательное движение. Будем при этом считать, что затухание мало настолько, что связанная с ним потеря энергии системы за период колебания мала по сравнению с энергией колебаний. Для определенности будем говорить о механических колебаниях. Согласно закону сохранения энергии изменение механической энергии'системы, совершающей колебания, равно работе силы трения:
Подставляя сюда силу трения из (2.1) и учитывая, что Ax=vx At, получим
Из соотношения (2.9) в пределе при At-+0 видно, что скорость изменения энергии колебаний dE/dt пропорциональна квадрату скорости и поэтому может быть выражена
через кинетическую энергию EK~~mvl:
Из формулы (2.10) видно, что диссипация энергии в течение периода колебаний происходит неравномерно, так как кинетическая энергия Ек осциллирует. Нас интересует потеря энергии колебаний за период. Ее можно охарактеризовать средним значением (dE/dt). Усредняя выражение
(2.10) по периоду колебаний, можем написать
Ввиду малости затухания при нахождении среднего значения кинетической энергии (Ек) можно воспользоваться формулой (1.17), справедливой для свободных колебаний. Так как среднее значение cos 2 (со0Н-а) за период равно нулю, то {Ек)—Е/2.
Подставляя это значение в формулу (2.11) и используя обозначение (2.3), получим
AE = (Frp-Ar).
АЕ — — Ах = — At.
(2.9)
(2.11)
dE
§2. ЗАТУХАЮЩИЕ КОЛЕБАНИЯ
321
Формула (2.12) показывает, что усредненная по периоду колебаний скорость изменения энергии (dE/dt), характеризующая «сглаженное» поведение 'энергии колебаний, когда нас не интересуют детали ее изменения на протяжении одного периода колебаний, пропорциональна самой энергии Е. Поэтому для промежутков времени, больших по сравнению с периодом, знак (...) усреднения по периоду в (2.12) можно опустить. В результате получается уравнение, решение которого показывает, что изменение Е (t)
происходит по экспоненциальному закону:
E{t) = E0e-^. (2.13)
Здесь Ео — значение энергии системы в начальный момент. Но энергия колебаний пропорциональна квадрату амплитуды. Поэтому изменение амплитуды колебаний за промежутки времени,' большие по сравнению с периодом, дается выражением
А = А0е~у/, (2.14)
где А о — начальная амплитуда колебаний. Зависимость амплитуды от времени показана пунктиром на рис. 2.2.
Как видно из (2.14), амплитуда убывает в е раз за время т, равное 1/у, независимо от начального значения амплитуды. Это время т носит название времени жизни колебаний, хотя, как видно из формулы (2.14), колебания продолжаются бесконечно долго. Использованное нами предположение о малости затухания означает, что время жизни
322
СОБСТВЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ
колебаний т велико по сравнению с периодом Т: т^>Т. Другими словами, за время т происходит большое число колебаний. Отметим, что в данном случае движение, строго говоря, не является периодическим. Под периодом колебаний Т здесь понимают промежуток времени между двумя
последовательными максимальными отклонениями от равновесия. Фазовая траектория затухающего колебания при наличии трения, пропорционального скорости, приведена на рис. 2.3. Она представляет собой незамкнутую кривую — спираль, закручивающуюся вокруг начала координат. При малом затухании, когда осциллятор за время жизни т успевает совершить большое чис-Рис. 2.3. Фазовая траектория ос- ло КОлебаний, такое же циллятора с трением, пропорцио-
нальным скорости. . число витков накручивает
спираль на фазовой плоскости.
Затухание колебаний влияет и на период, приводя к его возрастанию по сравнению с периодом свободных колебаний в той же системе. Однако при малом затухании увеличение периода колебаний очень мало. Но при сильном затухании колебаний вообще может не быть: выведенная из равновесия система вследствие большого трения будет апериодически, т. е, без осцилляций, приближаться к положению равновесия.
Уравнение затухающих колебаний (2.4) имеет точное решение. Непосредственной подстановкой можно убедиться, что оно имеет вид
x(t) = A0e~4i cos (со^-fa), a>j = |/соо —у2, (2-15)
где А о и a — произвольные постоянные, значение которых определяется из начальных условий. При малом затухании, когда Y<Ctt>0, частота W! практически совпадает с частотой свободой,^ колебаний (о0 = } k/m, а стоящий перед
