Физика для поступающих в вузы - Бутиков Е.И.
Скачать (прямая ссылка):
ВЫНУЖДЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ
§ 4. Вынужденные колебания гармонического осциллятора. Резонанс
До сих пор мы рассматривали собственные колебания, т. е. колебания, происходящие в отсутствие внешних воздействий. Внешнее воздействие было нужно лишь для
§4. ГАРМОНИЧЕСКИЙ ОСЦИЛЛЯТОР. РЕЗОНАНС 331
того, чтобы вывести систему из состояния равновесия, после чего она предоставлялась самой себе. Уравнение собственных колебаний (1.5) или (1.9) вообще не содержит следов внешнего воздействия на систему: оно отражается лишь в начальных условиях.
Но очень часто приходится сталкиваться с колебаниями, которые происходят при постоянно присутствующем внешнем воздействии. Особенно важен и в то же время достаточно прост для изучения случай, когда внешняя сила имеет периодический характер. Общей чертой вынужденных колебаний, происходящих под действием периодической внешней силы, является то, что спустя некоторое время после начала действия внешней силы система полностью «забывает» свое начальное состояние, колебания приобретают стационарный характер и не зависят от начальных условий. Начальные условия проявляются только в период установления колебаний, который обычно называют переходным ¦процессом.
Рассмотрим вначале наиболее простой случай установившихся вынужденных колебаний осциллятора под действием внешней силы, меняющейся по синусоидальному закону:
F (i)=F0 cos wt. (4.1)
Такое внешнее воздействие на систему можно осуществить различными способами. Например, можно взять маятник в виде заряженного шарика на длинном стержне из диэлектрика и поместить его между вертикальными пластинами плоского конденсатора, на которые подается переменное синусоидальное напряжение (рис. 4.1). Вынужденные колебания маятника можно получить и чисто механическим путем. Для этого вместо конденсатора можно взять длинную пружину с малой жесткостью и прикрепить ее к стержню маятника недалеко от точки подвеса, как показано на рис. 4.2. Другой конец горизонтально расположенной пружины следует заставить двигаться по закону В cos соt с помощью кривошипно-шатунного механизма, приводимого в движение электр'омотором. Действующая на маятник со стороны пружины вынуждающая сила будет практически синусоидальна, если размах движения левого конца пружины В будет много больше амплитуды колебаний стержня маятника в точке закрепления пружины С.
332
вынужденные Колебания
Применяя к рассматриваемой системе второй закон Ньютона, можно убедиться, что уравнение движения маятника при не слишком больших амплитудах колебаний будет иметь вид
тх --
¦ kx-
-Px + Fgcosco/, (4,2)
Первое слагаемое в правой части представляет собой ква-зиупругую возвращающую силу, обусловленную действием
Рис. 4.1. Вынужденные колебания, возбуждаемые переменным электрическим полем.
Рис. 4.2. Другой способ возбуждения вынужденных колебаний.
на маятник поля тяжести. Второе слагаемое есть сила трения, пропорциональная скорости, например сила сопротивления воздуха или сила трения в оси. Амплитуда вынуждающей силы F0 равна произведению заряда маятника q на амплитуду переменной напряженности электрического поля ?о в конденсаторе в первом случае и пропорциональна произведению максимального смещения левого конца пружины В на ее жесткость во втором случае.
Разделим обе части уравнения (4.2) на массу т и введем обозначения:
2v=i. /.“?• <4'3>
Теперь уравнение (4.2) принимает вид
х + 2ух + (о?* = /о cos at.
(4.4)
§ 4. ГАРМОНИЧЕСКИЙ ОСЦИЛЛЯТОР. РЕЗОНАНС 333
В отсутствие вынуждающей силы правая часть уравнения
(4.4) обращается в нуль, и оно, как и следовало ожидать, сводится к уравнению собственных затухающих колебаний.
Вынужденные колебания в любой системе, способной в отсутствие трения совершать гармонические собственные колебания, будут при наличии синусоидальной вынуждающей силы и сопротивления, пропорционального скорости, описываться таким же уравнением
(4.4). Величина х в любой системе fycosurf’
характеризует отклонение от равновесия, а постоянные коэффициенты у, J- q
ш0 и /о определяются параметрами опи- "" ^
сываемой системы. Например, урав- _^—i_
нение (4.4) описывает вынужденные Рис 43 после, ова колебания в контуре из последователь- ТадЬНый RLC контур! но соединенных емкости С, индуктивности L и сопротивления R, к которому приложено синусоидальное внешнее напряжение U=*U0cos at (рис. 4.3). Действительно, U(t) в каждый момент времени равно сумме напряжений на отдельных элементах цепи:
U(t) = UL+.UR+U0. (4.5)
Подставляя в (4.5) Uc=q/C, UR=qR и Ub=Lq, получим уравнение
q + 2yq + alq=~f0cos(at, (4.6)
где использованы обозначения:
«в*. =2^-, 2у = ?’ (4.7)
Как найти решение уравнений (4.4). или (4.6), описыва-
