Физика для поступающих в вузы - Бутиков Е.И.
Скачать (прямая ссылка):
Рис. 5.1. Кинетическая, потенциальная и полная энергия осциллятора при установившихся вынужденных колебаниях (ш<^ш0).
обратно. Полная энергия постоянна только при (о=?о0, т. е. при резонансе.
Средние значения кинетической и потенциальной энергий при вынужденных колебаниях могут сильно отличаться друг от друга. При низких частотах, когда ш<со0) среднее значение кинетической энергии меньше среднего значения потенциальной; при 'йх>?Оо — наоборот. Действительно, при вынужденных колебаниях с очень низкими частотами почти вся энергия осциллятора—это энергия деформированной пружины, а кинетическая энергия ничтожно мала. При высоких частотах, напротив, скорость может достигать огромных значений даже при ничтожных смещениях, когда потенциальная энергия пренебрежимо мала.
Рассмотрим подробнее энергетические превращения при установившихся вынужденных колебаниях. Если частота внешней силы много меньше частоты собственных колебаний системы, то, как уже отмечалось, почти вся энергия
§Б. ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЕ ПРЕВРАЩЕНИЯ ПРИ КОЛЕБАНИЯХ 341
колебаний представляет собой потенциальную энергию. Поэтому, когда осциллятор удаляется от положения равновесия, энергия системы возрастает, т. е. внешняя сила совершает положительную работу. На протяжении этой четверти периода энергия поступает в систему от внешнего источника. На протяжении следующей четверти периода, когда осциллятор возвращается в положение равновесия и потенциальная энергия убывает, система отдает энергию внешнему источнику. Затем все повторяется.
Если частота внешней силы много больше частоты собственных колебаний, то, как мы видели, энергия осциллятора— это в основном кинетическая энергия. Поэтому система получает энергию от внешнего источника в те четверти периода, когда осциллятор движется к положению равновесия и его скорость возрастает! При удалении _ от положения равновесия система отдает энергию внешнему источнику. ,
Ясно, что при установившихся колебаниях получаемая системой от внешнего источника за период энергия превосходит отдаваемую, так как в системе действует сила трения, работа которой определяет диссипацию механической энергии — переход части энергии колебаний в тепло.
При резонансе, когда частота внешней силы совпадает с частотой свободных колебаний, полная энергия системы постоянна, как и в случае свободных колебаний. Дважды за период кинетическая и потенциальная энергии целиком переходят друг в друга. Другими словами, при резонансе система совершает «почти собственные» колебания. Роль внешней силы сводится только к крмпенсации действующей в системе силы трения.
Запишем выражение для развиваемой внешней силой мощности P(t) при установившихся колебаниях:
P(t)-F(t)vAt) = F(t)k(t).
Подставляя сюда выражения для внешней силы и скррости осциллятора, получим
P(t)=—Fo cos co/-fcco sin (со/—0).
Используя формулу тригонометрии для произведения синуса и косинуса, приводим выражение для мощности к
342
ВЫНУЖДЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ
следующему виду:
P(t)~ —?j- F0bw [sin (2wt — 0) — sin 9]. (5.2)
Поскольку среднее значение sin(2co/—0) за период равно нулю, то среднее за период значение мощности внешней силы (Р) равно
<Ру = y Fab& sin 0. (5.3)
Обратим внимание на то, что эта формула совершенно аналогична выражению для средней мощности в цепи переменного тока. Отличие лишь в том, что вместо амплитуд приложенного напряжения U0 и тока /0 стоят амплитуды внешней силы F0 и скорости bсо. Вместо привычного cosrp стоит sin 0 потому, что здесь мощность выражена через сдвиг фазы 0 между силой и смещением, а не между силой и скоростью, обозначавшийся через ф.
Скорость диссипации механической энергии в системе определяется мощностью, развиваемой силой трения:
/\р(0 = ЛрМ0 = -Р^(0=*-Р^(0. (5.4)
Подставляя сюда значение скорости x(i), находим
ЛР (0 = — sin2 (со/ — 0) = — ,Uco262 [1—cos 2 (соt —0)].
(5.5)
Усредняя по периоду колебаний, получим
</\Р> = -уРй2“а- (5-6)
При установившихся колебаниях средняя энергия осциллятора . постоянна, Получаемая системой от внешнего источника за период энергия полностью превращается в тепло. Это значит, что равна нулю сумма средней мощности внешней силы и силы трения:
<Р> + <Р?р> = 0. (5.7)
Линейная зависимость средней мощности внешней силы и квадратичная зависимость мощности силы трения от амплитуды колебаний позволяют объяснить устойчивость режима вынужденных колебаний. Изобразим эти эависи-
§5. ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЕ ПРЕВРАЩЕНИЯ ПРИ КОЛЕБАНИЯХ 343
мости графически, На рис. 5.2 прямая линия характеризует получаемую системой энергию, а парабола — дисси-пируемую энергию, определяемую мощностью силы трения. Поскольку в установившемся режиме эти энергии равны, то точка пересечения прямой и параболы соответствует амплитуде установившихся колебаний. Представим себе, что в силу каких-то случайных причин амплитуда колебаний немного изменилась, например уменьшилась при неизменной фазе.
