Физика для поступающих в вузы - Бутиков Е.И.
Скачать (прямая ссылка):
Но если отклонить маятники на одинаковый угол в противоположные стороны и отпустить (рис, 8.1, в), то маятники будут качаться в противофазе. Колебания маятников н к этом случае будут гармоническими, но частота колебаний будет больше, чем Действительно, при колебания,; такого типа в каждый момент времени деформированная пружина стремится повернуть маятники в ту же сторону, что и сила тяжести, т. е. в положение равновесия. Это пргсод’т к увеличению частоты колебаний. Выражении для ег_„'цоний маятников при начальном отклонении на величину А навстречу друг другу имеют вид
Рассмотренные колебания, когда каждый из маятников совершает гармоническое движение, носят название нор-
xt (t) = A cosco^, х„ (t) — A cos со^.
(8.1)
хг (() = A coscoJ, xt(t)~ — A cozcoj.
(8.2)
302
волны
мальных колебаний или нормальных мод. Число различных типов нормальных колебаний и соответствующих им частот равно числу степеней свободы системы. Поэтому в изучаемой системе двух связанных маятников других типов нормальных колебаний, кроме указанных выше, нет. Любое собственное колебание двух связанных маятников можно представить как суперпозицию их нормальных колебаний.
Рассмотрим, например, какое движение будут совершать маятники при суперпозиции нормальных колебаний (8.1) и (8.2) с одинаковыми амплитудами. Складывая между собой смещения каждого маятника при этих колебаниях, получим
*i(0 *2 (О
где (0'=y((0i+(02) — средняя частота, а Аи=(о2—образность частот нормальных колебаний.
Если связывающая маятники пружинка очень слабая, то ее влияние на маятники мало, и поэтому частота со2 мало отличается от частоты «н колебаний под действием только поля тяжести, В этом случае Aco<g<o и правые части выражений (8.3) можно рассматривать как уравнения синусоидальных колебаний с частотой о п медленно пульсирующими амплитудами, Графики этих колебании показаны на рис. 8.2. Такое движение, получающееся в результате сложения гармонических колебаний с близкими частотами, носит название биений.
Из формул (8,3) видно, что в начальный момент (=0 *1=2А, *2=0. Это значит, что начальные условия, приводящие к такому движению, имеют вид: в начальный момент времени первый маятник смещен из положения равновесия вправо на величину 2А, а второй маятник удерживается в положении равновесия. Легко видеть, что эти начальные условия представляют собой суперпозицию начальных условий - для нормальных колебаний (8,1) и (8.2), как, разумеется, и должно быть.
Вся энергия колебаний в начальный момент сосредоточена у первого маятника. Но постепенно амплитуда его
aJ СО
= A (cos (oj -f cos mst) — 2 A cos -s- t - cos cot,
L (8-3)
= A (cos coj — cos (o2i) — 2A sin / -sin cot,
§8. КОЛЕБАНИЯ СВЯЗАННЫХ МАЯТНИКОВ
363
колебаний, как видно из рис. 8.2, убывает, а амплитуда колебаний второго — возрастает. Через промежуток времени 7У2=я/Асо, равный половине периода биений, вся энергия будет сосредоточена у второго маятника. Затем энергия колебаний снова переходит к первому маятнику и т. д. Процесс перекачки энергии колебаний от одного
маятника к другому осуществляется благодаря связывающей маятники упругой пружине. Чем больше жесткость пружины, тем быстрее происходит передача энергии.
По сути дела, биения связанных маятников представляют собой волну в системе с двумя степенями свободы.
Опыт для наблюдения нормальных колебаний и биений связанных маятников можно осуществить очень просто. Для этого достаточно подвесить два одинаковых грузика на нитях одинаковой длины к горизонтальной нити на некотором расстоянии друг от друга. Горизонтальная нить служит не только для подвешивания маятников, но и осуществляет связь между ними, т. е. играет роль еще и пружинки в описанном выше опыте. Эта связь будет эффективнее, если горизонтальную нить не натягивать сильно: она должна заметно провисать под тяжестью грузиков. Наблюдать колебания маятников удобнее в плоскостях, перпендикулярных горизонтальной нити. Если один из
волны
г-'./уЛДЛМЛ-*- лЛ\ЛЛЛ
Рис. 8.3.
б О
Возбуждение вынужденных колебаний связанных маятников.
маятников отклонить из положения равновесия и отпустить, то через некоторое время он остановится, но другой маятник будет раскачиваться. Затем снова раскачается первый маятник, а второй остановится и т. д.
Рассмотрим теперь установившиеся вынужденные колебания системы связанных маятников под действием синусоидальной внешней силы, считая ¦тпеяие пренебрежимо малым. Приложить эту силу можно таким же способом, как и при изучении вынужденных колебаний одиночного маятника. Можно взять длинную пружину с малой жесткостью и прикрепить ее, например, к первому маятнику, как показано на рис. 8.3. Другой конец этой длинной пружины следует привести в движение по закону В cos <оЛ Действующая со стороны этой пружины на первый маятник сила будет синусоидальной, если амплитуда В левого конца пружины будет много больше амплитуды колебаний стержня первого маятника в точке закрепления пружины.
