Физика для поступающих в вузы - Бутиков Е.И.
Скачать (прямая ссылка):
Х0 = A cos а,
V0 =— А(о0 sin а.
(1.11)
(1.12)
S1. СВОБОДНЫЕ КОЛЕБАНИЯ ОСЦИЛЛЯТОРА
313
получим
х (/)'= Л cos (со0/+ а),
vx{t) = — аэ0Л sin (со0/ + а), (1ЛЗ)
ах (t) = — <м„Л cos (о)0/ + а).
Мы воспользовались тем, что при движении по окружности величина скорости v связана с радиусом окружности Л и угловой скоростью со0 соотношением и=со0Л} а вели» чина ускорения — соотношением а=а\А. Из формул (1.13) видно, что проекция ускорения ax(t) в любой момент времени пропорциональна смещению х (t), точно так же, как и в уравнении (1.5):
ax(t) = -alx(t). (1.14)
Отсюда следует, что уравнение (1.5) описывает движение, происходящее по синусоидальному закону (1.13).
Подчеркнем, что при гармонических колебаниях любой физической природы, которые происходят по закону (1.10), частота со0 оказывается зависящей только от свойств системы, в которой происходят колебания, но не зависит от амплитуды колебаний. В одной и той, же системе могут происходить колебания определенной¦ частоты, которая, например, дается формулами (1.4) или (1.8), но разной амплитуды. Амплитуда колебаний Л и начальная фаза а определяются не свойствами самой системы, а тем способом, каким в системе вызваны колебания. Колебания, происходящие в системе в результате вывода ее из состояния равновесия, после чего система предоставляется самой себе, будем называть собственными колебаниями. В отсутствие трения собственные колебания иногда называют свободными.
Рассмотрим энергетические превращения, происходящие при свободных гармонических колебаниях.
При механических колебаниях груза на пружине происходит периодическое превращение кинетической энергии движущегося груза Ек и потенциальной энергии Е„ системы,' которая состоит из потенциальной энергии деформированной пружины и потенциальной энергии груза в поле тяжести. Потенциальная энергия, деформированной пружины пропорциональна квадрату ее удлинения х+х0 (рис. 1.1) и,
следовательно, равна ^-1г(х-\-х0)?. Потенциальная энер-
314
•СОБСТВЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ
гия груза в поле тяжести равна —mgx+C. Выберем для удобства произвольную постоянную С таким образом, чтобы полная потенциальная энергия системы была равна нулю в положении равновесия:
±kx*0 + C = О,
откуда С=—y kx\, и потенциальная энергия системы Е„ В произвольной точке х выражается формулой
Е„ = ^-1г{х-{-х0)2—mgx-^Y /е^=у/ех2. (1.15)
Полная механическая энергия системы Е=Ек-\-Еп при колебаниях остается неизменной, так как система консервативна. В этом можно убедиться и непосредственно, подставляя смещение х и скорость v из (1.13) в выражение для энергии:
Е =~ mvl + у hx* = j ти>1Аг sin2 (со0/ + а)‘ +
+ у /г Л2 cos2 (©„< + а) =/еЛ2 = -^ /шо„Л2. (1.16)
Из этой формулы видно, что неизменная полная энергия системы Е совпадает с потенциальной энергией Е„ в точках наибольшего отклонения от положения равновесия, т. е. при лс=±Л, и совпадает с кинетической энергией Ек при прохождении груза через положение рав-новесия, где его скорость vx равна ±со0Л. При взаимных превращениях потенциальная и кинетическая энергии совершают гармонические колебания с одинаковой амплитудой ?72 в противо-фазе друг с другом и с частотой 2со0. Чтобы убедиться в этом, преобразуем выражения для кинетической и потенциальной энергий с помощью формул для тригонометрических функций половинного аргумента:
?к (0 = y/”®o^2sin2(co0^ +а) = у [1 — cos2 (co0f+a)],
(1.17)
^(O^T^cos2^ +a) = f-[l + cos 2 (<0Ot + a)].
§1. СВОБОДНЫЕ КОЛЕБАНИЯ ОСЦИЛЛЯТОРА
315
На рис. 1.4 приведены графики зависимости от времени смещения груза x(t), кинетической EK(t) и потенциальной Е„(0 энергий.
В случае электромагнитных колебаний в контуре происходят взаимные превращения энергии электрического
Ш
?/2
О
?
Ш
Рис. 1.4. Графики смещения, кинетической и потенциальной энергий при колебаниях.
поля в конденсаторе Wc=Yq2/C и энергии магнитного
поля в катушке индуктивности WL—Полная энергия колебаний W, равная WC+WL, остается неизменной. Ее можно выразить через амплитуду колебаний заряда конденсатора Q:
W = (1.18)
Наглядное представление о процессе колебаний можно .получить с помощью так называемых фазовых диаграмм. Механическое состояние совершающего колебания тела
316
СОБСТВЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ
определяется заданием его координаты х и скорости vx. Если на плоскости ввести систему координат и отложить х по оси абсцисс и vx по оси ординат, то состояние системы будет изображаться точкой на этой плоскости: При изменении механического состояния изображающая его точка будет в этой плоскости двигаться по некоторой линии. Если рассматриваемая система возвращается в исходное состояние, то соответствующая такому движению линия замыкается. Плоскость х, vx называется фазовой плоскостью, а кривая, по которой движется изображающая точка при изменении механического состояния системы, называется фазовой траекторией.
