Физика для поступающих в вузы - Бутиков Е.И.
Скачать (прямая ссылка):
Рис. 1.1. Положение равновесия и колебания груза на пру^кине.
310
СОБСТВЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ
было пренебречь при колебаниях. Поместим начало отсчета по оси х в точку, соответствующую равновесному положению тела. В этом положении благодаря действию силы тяжести пружина уже растянута на величину х0, определяемую соотношением
mg=kx о. (1.1)
Поэтому при смещении груза на величину х из положения равновесия действующая на тело со стороны пружины сила равна —k(x+x0). Обозначая ускорение тела а, равное
второй производной смещения х по времени, через х, за-
пишем второй закон Ньютона в виде
тх = — k (х + х0) + mg'. (1.2)
С учетом (1.1) это уравнение переписывается в виде
тх =— kx. (1.3)
Вводя обозначение
«г-4- <>-4>
представим уравнение движения тела (1.3) в виде
х-{-ш\х = 0. (1.5)
Перейдем к рассмотрению колебаний в контуре, содержащем последовательно соединенные катушку индуктив-
ности L и конденсатор емкости С (рис. 1.2). При обходе контура (например, против часовой стрелки) сумма напряжений на катушке индуктивности UL и конденсаторе Uс в такой последовательной цепи равна нулю:
Рис. 1.2. Коле- UL-{- Uс=р0. (1.6)
бательный контур. Напряжение на конденсаторе Uc связано
с зарядом пластины q и емкостью С соотношением Uc—q!C. Напряжение на индуктивности UL в любой момент времени равно по величине и противоположно по знаку э. д. с. самоиндукции, поэтому
Ul = L~. Ток в цепи /, как видно из рис. 1.2,
равен скорости изменения заряда пластины конденсато-
§1. СВОБОДНЫЕ КОЛЕБАНИЯ ОСЦИЛЛЯТОРА
311
pa: I=dqldt. Подставляя ток в выражение для напряжения на катушке и обозначая вторую производную заряда конденсатора q по времени через q, получим UL=Lq. Теперь выражение (1.6) принимает вид
Lq+% = 0. (1.7)
Вводя обозначение
(1.8)
перепишем уравнение (1.7) в виде
q + atq = 0. (1.9)
Видно, что уравнение (1.5), описывающее колебания груза на пружине, и уравнение (1.9), описывающее электромагнитные колебания в контуре, совпадают.
К такому же точно уравнению мы придем, рассматривая малые колебания математического маятника, физического маятника, т. е. любого тела, которое может вращаться вокруг горизонтальной оси под действием силы тяжести, крутильные колебания диска или коромысла, подвешенного на • упругой нити, и т. д.,
Колебания любой физической природы, описываемые таким уравнением, называются гармоническими, а совершающая такие колебания система — гармоническим осциллятором.
Решение уравнения гармонических колебаний имеет вид f(t)=A cos (сооЯ-а), (l-Ю)
где А и а — произвольные постоянные. Функция /(/)
(1.10) является решением дифференциального уравнения (1.5) или (1.9) при любых‘значениях А и а. При колебаниях груза на пружине /(/) — это смещение груза-из положения равновесия, т. е. f{t)=x(t), а при электромагнитных колебаниях в контуре / (t) есть заряд на обкладке конденсатора, т. е. f(t)=q{t).
Циклическая частота гармонических колебаний со0 не зависит от амплитуды А и определяется параметрами изучаемой системы: при механических колебаниях груза на пружине значение ш0 дается формулой (1.4), а при электро-
312
СОБСТВЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ
магнитных колебаниях в контуре — формулой (1.8)'. Величина постоянных Л и а в выражении (1.10), имеющих смысл амплитуды и начальной фазы колебаний, зависит от начального состояния системы. Например, при механических колебаниях значения А и а определяются заданием начального механического состояния системы, т. е. значений смещения груза Хо и его скорости У0 при ?=0. С помощью (1.10) при /==0 получаем
Решая эту систему уравнений относительно А и а, получаем
Для определения постоянных А и а в случае электромагнитных колебаний в контуре нужно задать значения заряда на конденсаторе q0 и тока в цепи /0 при ^=0.
Убедиться в том, что функция (1.10) является решением уравнения гармонических колебаний (1.5) или (1.9), можно непосредственной подстановкой. Но можно это сделать и иначе, воспользовавшись удобным графическим методом изображения колебаний. Рассмотрим равномерное движение точки по окружности радиуса А с угловой скоростью
Рис. 1.3. Векторы скорости и ускорения при равномерном движении точки по окружности.
со0 (рис. 1.3, а). Пусть в начальный момент радиус-вектор этой точки образует угол а с осью х. Спроектируем теперь на эту ось радиус-вектор движущейся точки г, ее скорость© и ускорение а. Учитывая, что при равномерном движении точки по окружности ее скорость направлена по касательной, а ускорение — к' центру окружности (рис. 1.3, б),