Введение в теорию нелинейных колебаний - Бутенин Н.В.
Скачать (прямая ссылка):
Q {х, У) = Q'x\ + (&] + ..., (6.16)
так как Q (х, у) = 0. Подставляя выражение (6.16) в уравнение (6.15), получим
У = (Qxl + (&] + .. .)/и~
Отсюда следует, что только в малой окрестности линии Q (х, У) — 0, когда 5 и г] имеют порядок фазовая скорость изображающей точки будет ограниченной при ^ -> 0. Вне этой окрестности при 0 г/ -> оо, af в соответствии с уравнениями (6.13) остается ограниченной и dx Р (х, у) г\ п
-df = ^~WTy)^ при ^°-
Следовательно, фазовые траектории вне малой окрестности (порядка ^) линии Q (х, у) = 0 при малом ^ близки к прямым х = const. По этим кривым изображающая точка движется с большими скоростями. Эта область называется
УТОЧНЕНИЕ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ
217
областью «быстрых» движений. Приближенными уравнениями быстрых движений будут
х = х° = const, цг/ = Q (х°, у). (6.17)
Отметим, что особыми точками системы (6.17) будут точки пересечения линий х = я0 = const с кривой Q (х, у) = 0.
Таким образом, уравнения (6.14) оказываются непригодными для описания движения динамической системы. Уравнения (6.14) могут отражать движение системы только в малой окрестности (порядка }х) линии Q (х, у) = 0, где х и у остаются конечными. Эти движения называются «медленными» движениями, а указанная малая окрестность линии Q (х, у) — 0 областью медленных движений.
Для того чтобы выяснить, является ли малый параметр существенным при рассмотрении движения системы или нет, рассмотрим возможные случаи.
Возможен случай, когда все траектории быстрых движений при возрастании времени идут внутрь области медленных движений (малой окрестности линии Q (х, у) = = 0). Тогда изображающая точка, помещенная внутрь области медленных движений, в начальный момент будет двигаться в этой области, так как нет траекторий, выходящих из этой области. В этом случае учет малого параметра оказывается несущественным *).
Найдем условия несущественности учета малого параметра. Как уже ранее было сказано, точки линии Q (х, у) = = 0 являются состояниями равновесия (особыми точками) уравнений быстрых движений, поэтому поведение траекторий быстрых движений вблизи линии Q (х, у) = 0 полностью определяется характером этих состояний равновесия. Перепишем уравнения быстрых движений (6.17) в виде
Jfir = Q(x, у), х = const, =
Вводя у = у + Л, получим уравнение первого приближения
= С>1-
*) Если в начальный момент изображающая точка была в области быстрых движений, то она по соответствующей траектории быстрого движения придет в область медленных движений по истечении соответствующего промежутка времени.
218
РАЗРЫВНЫЕ КОЛЕБАНИЯ
[ГЛ. 6
Отсюда следует, что если Qv < 0, то точки линии Q (х, у) — = 0 являются устойчивыми особыми точками для приближенных уравнений быстрых движений и все траектории быстрых движений входят в область медленных движений. Следовательно, условием несущественности малого параметра является условие Qv < О *). При Qy^> 0 точки линии Q (х, у) являются неустойчивыми особыми точками для уравнений быстрых движений.
Рассмотрим теперь случай, когда на какой-либо части линии Q (х, у) = 0 Qy < 0, а на другой Qy 0. В этом случае изображающая точка, помещенная в начальный момент в малую окрестность линии Q (х, у) = 0, где Qy ^> 0, не будет оставаться там и выйдет в область быстрых движений. Следовательно, имеют место движения, которые начинаются из состояний, совместных с уравнениями
*) Строгое доказательство условий ыесуществеиности малых параметров для системы уравнений
Pi 1 • • •j Vii У2f • • •) Ук)->
\iyj Qj (-^l» ^2» • • •> Vh y%j • • ч ytf)
(t = 1, 2, . . s, j — 1, 2, . . k, n — s + к) дано в работах
И. С. Градштейна и А. Н. Тихонова [4, 5, 13] и заключается в следующем: если все к корней характеристического уравнения
d_Qi_ ъд.0± ... dQi
%i дуг дУ*
dQ2 д-Я1-Х. dQz
dyi дуг ' дУК
дЛ....
дУ2
имеют отрицательные действительные части при любых xt, у-п удовлетворяющих уравнениям
Qj (хи х2, . . ., xs, уи у2, . . ., ук) = 0 (/ =1,2,..., к),
то лежащие внутри малой О (ца) окрестности подпространства Qj (с числом измерений к •< п) (0 < а < 1) являются устойчивыми состояниями равновесия для приближенных уравнений быстрых дви-? жений
Xi = х? == const, [iyj = Qj {x°v . . ., X°s, yu 1/2, ...,№)
и все траектории быстрых движений вблизи подпространства Qj входят при возрастании времени в малую окрестность последнего.
УТОЧНЕНИЕ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ
219
(6.14), но не могут быть рассмотрены без учета малого параметра. Малый параметр в этом случае оказывается существенным.
Отметим, что в точках линии Q (х, у) = 0, где Qv меняет знак, производная Qv (х, у) = 0, т. е. в этих точках линия Q (ж, у) = 0 имеет вертикальные касательные.
Перейдем к решению задачи о возникновении разрывных колебаний ([1, 6, 7, 8, 10—12] и др.). Рассмотрим снова уравнения быстрых движений (6.17):
