Введение в теорию нелинейных колебаний - Бутенин Н.В.
Скачать (прямая ссылка):
х = const, |ху = Q (х, у).
Как было уже сказано, особыми точками этих уравнений являются точки пересечения прямых х = const с линией Q (х, у) = 0. Следовательно, эти точки пересечения разбивают прямые х = const на траектории быстрых движений. Если при достаточно больших | у [ знак функции Q (х, у) противоположен знаку у, то траектории быстрых движений идут из бесконечности и от участков линии Q (ж, у) = 0, где Qy^> 0, к тем участкам линии, где Qv <С
< 0. Это означает, что медленные движения системы, когда х и у ограничены в течение конечных интервалов времени при ц -> 0, будут происходить только в малых окрестностях (порядка ц,) участков Q (х, у) = 0, Q' (х, у) <
< 0, т. е. будут приближенно отображаться уравнениями вырожденной системы
х = Р (х, у), Q (х, у) = 0.
Рассмотрим теперь предельный случай, когда ц, -> 0. Предположим, что на линии Q (х, у) = 0 имеются участки, на которых Qy < 0, и участки, на которых Qy ^> ]> 0. Как было уже сказано, на границе этих участков линия Q {х, у) = 0 имеет вертикальные касательные. Вся плоскость, за исключением линии Q (х, у) = 0, при |д. = 0 будет заполнена прямыми х = const — траекториями быстрых (скачкообразных) движений, идущих к частям линии Q (х, у) = 0, где Qy < 0 *); эти части линии Q (х, у) = 0 являются траекториями медленных движений, вдоль которых изображающая точка движется с ограниченными х и у.
*) Отметим, что согласно уравнениям быстрых движений изображающая точка будет скачкообразно перемещаться вверх (у —>
—» оо) при Q (х, у) > 0 и вниз (;/ —> —оо) при Q (х, у) < 0.
220 РАЗРЫВНЫЕ КОЛЕБАНИЯ [ГЛ. 6
Пусть изображающая точка, совершая «медленное» движение, дойдет до точки, где Qy = 0; тогда она войдет в область быстрых движений и скачкообразно по выходящей из этой точки траектории х — const переместится снова на линию медленных движений. Таким образом, в этом случае в системе будут происходить разрывные колебания — колебания, состоящие из чередующихся между собой «медленных» и скачкообразных движений. Отметим, что в точках линии Q (х, у) = 0, где Qv = 0, при ц = 0 у обращается в бесконечность. Продифференцировав по t Q (х, у) = 0 и воспользовавшись уравнениями (6.14), получим для медленных движений
QxP + <Ху = о.
Предполагая, что Qx ф 0, получим, что
Отсюда следует, что при ft = 0 в точках, где Q,, = 0, /у обращается в бесконечность. При переходе через эти точки у меняет знак, т. е. эти точки являются точками стыка фазовых траекторий. Вернемся к примеру, рассмотренному в предыдущем параграфе. Уравнение движения колодки при I Ф 0 имеет вид
/ф = —Сф _|- М (О, — ф).
Вид функции М (Q — ф) показан на рис. 6.4. Представим это уравнение в виде двух уравнений первого порядка:
Линия Q (ф, ф) = — сф + М (Q — ф) представлена на рис. 6.9. Особая точка уравнений (6.18) определяется из уравнений
—сф + М (Q — ф) = 0, ф = 0.
Так как = —М^ (Q — ф), то на участках FE, ВС
и GA производная <С 0, на участках EG и ЛС ^ О^-
Вид фазовой плоскости при I = 0 представлен на рис. 6.10. Изображенный на рис. 6.10 предельный цикл DABCD соответствует периодическим разрывным автоколебаниям динамической системы. На участке DA ф = Q и, следо-
2]
УТОЧНЕНИЕ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ
221
вательно, ср = ?2^ + MJc (Мх — минимальное значение момента силы трения). При t — Тх (7\ — время движения на участке DA) ф=М0/с, значит,
ее \ L /
На участках АВ и CD изображающая точка перемещается
На
X
L
\
Рис. 6.10
при 1 = 0 мгновенно. На участке ВС время движения можно определить по формуле
М,/с
2 ) Ф ’
MJc
но так как на этом участке —сср + М (?2 — ф) = 0, то
dcp =-----М' (?2 — ф) йф
и, следовательно,
Тс
~Н
М' (Q — ф) Ф
о!ф,
Ф в
где фв и фс — значения ф соответственно в точках В и С. Период разрывных колебаний, очевидно, равен Т = Тг + + Г2. На рис. 6.11 и 6.12 представлены примерные графики зависимостей ф и ф от t.
В качестве электрического аналога механической системы, совершающей разрывные (релаксационные) коле-
222
РАЗРЫВНЫЕ КОЛЕБАНИЯ
[ГЛ. 6
бания, рассмотрим генератор разрывных колебаний с неоновой лампой [1]. На рис. 6.13 представлена схема такой динамической системы. Дифференциальное уравнение, описывающее такую динамическую систему, может быть представлено в виде
C-^r = E~^U - i- (6-19)
dt
Д
При выводе этого уравнения не учтены малые параметры — индуктивность контура и инертность газового разряда. Сила тока i через неоновую лампу определяется напряжением и и статической характеристикой i = ф (и).
