Введение в теорию нелинейных колебаний - Бутенин Н.В.
Скачать (прямая ссылка):
уравнения v — 0 и соответственно и=0, и движение любой фазовой точки (и (t), v (t)) при изменении t таково, что точка (и (t), 0) представляет движение фазовой точки на поверхности Sp, а точка (0, v (t)) — движение фазовой точки по поверхности Sq. Сказанное в трехмерном случае иллюстрируется рис. 7.5.
Все фазовые точки, близкие к особой точке Оп> °, стремятся к ней при t—*¦ +00, т. е. некоторая малая окрестность б точки Оп'0 к ней стягивается при возрастании времени t. Обозначим через б (t) множество, в которое переходят точки окрестности б спустя время t. При t —> -*¦ +00 b(t)-*-On'a. При обратном изменении времени, когда t-*—00, б (t) заполняет некоторую область Sn, состоящую из всех фазовых траекторий, стремящихся к точке О71’0 при f—»--f-oo. Эта область
5п=и«(-0 (7-2)
i=0
называется областью притяжения устойчивой особой точки О71'0. Для неустойчивой особой точки 0°'п, которая становится устойчивой после замены времени t на —t,
236
МНОГОМЕРНЫЕ ДИНАМИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ [ГЛ 7
можно ввести область заполнения
S-= U 8(i).
(7.3)
Область заполнения становится областью притяжения после замены времени t на —t.
Устойчивой особой точке Оп<0 соответствует установившееся движение динамической системы, называемое устойчивым состоянием равновесия. Область притяжения устойчивого состояния равновесия состоит из всех переходных движений, которые имеют своим предельным движением это равновесное состояние или, проще, которые в него переходят. В некотором смысле сказанным полностью решается вопрос о состояниях равновесия и их устойчивости в большом, поскольку состояния равновесия находятся из уравнения
/ (х) = 0. (7.4)
Среди них устойчивые состояния равновесия отбираются требованием, чтобы все корни так называемого характеристического уравнения имели отрицательные действительные части, а формула (7.2) в принципе позволяет найти область притяжения с любой степенью точности, поскольку области б (i) при возрастании i ее исчерпывают.
Напомним, что характеристическим уравнением особой точки х*, определяемой из уравнения (7.4), называется приравненный нулю полином п-й степени
dfi -Xddh .. Эк
dxi (JX 2 дх
п
Х(Ь) = df2 dh Sh
дх\ дх2 дх
п
df df дх -к
} п ’ п п
дх\ дхг
Det
й-1
дх.
j
(7.5)
определяющий собственные значения матрицы dfldx в особой точке х*, где /х, /2, . . ., fn — компоненты правой части / (х) уравнения (7.1), а хг, х.,. . . ., х„ — компоненты вектора х.
§ 1] РАВНОВЕСИЯ И ПЕРИОДИЧЕСКИЕ ДВИЖЕНИЯ 237
Выполнение всех перечисленных операций — отыскание корней (7.4), составление характеристического полинома (7.5) и проверка условия локальной устойчивости, нахождение области Sn — представляет значительные трудности, которые далеко не всегда могут быть преодолимы аналитически. При этом наиболее сложным является определение или оценка области притяжения. Разработанный для этого аналитический аппарат функций Ляпунова приводит к успеху лишь в ограниченном числе случаев. В остальных случаях остается только прямое вычисление областей б (г). Как правило, это трудоемкая, но с привлечением вычислительных машин вполне выполнимая операция. В последнее время при решении конкретных задач к ней прибегают все чаще и чаще [56, 58, 10,9, 14, 16, 17].
Что можно сказать о виде области притяжения, кроме того, что она полностью исчерпывается областью б (i) при i —*¦ —оо? В некоторых случаях она довольно проста, и могут быть указаны и приближенно вычислены поверхности, из которых составлена ее граница. Но возможны случаи, когда она необычайно сложна. Соответствующие примеры будут приведены ниже в связи с рассмотрением так называемых гомоклинических структур. А сейчас вернемся к рассмотрению особых точек Ор<q.
Вид окрестности седловой особой точки Op’q (р, q Ф 0) был уже описан. К сказанному добавим, что числа р и q — это числа корней характеристического полинома (7.5) с отрицательной и соответственно положительной действительными частями. Окрестность седловой точки Ор’q описанными выше способами «расширена» быть не может. Однако такое расширение возможно в отношении поверхностей Sp и Sq. Именно, пусть б* и б" — малые окрестности точки Op'q на поверхностях Sp и Sq соответственно. Продолжим б+, меняя время в сторону — оо, и б", меняя время в сторону + оо. Эти продолженные поверхности по-прожнему обозначим через Sp и Sq. Точка №¦3 явля-
ГТ+ « *-» ом
ется на поверхности Ьр устоичивои неподвижной точкой Ор’ °. Ее область притяжения — это продолженная поверхность
s+P= U б+(-0-i=0
(7.6)
238
МНОГОМЕРНЫЕ ДИНАМИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ
[ГЛ. 7
Аналогично точка Ор’q на поверхности Sq — это неустойчивая особая точка О0’ч с областью заполнения