Введение в теорию нелинейных колебаний - Бутенин Н.В.
Скачать (прямая ссылка):
i
и — Щ)
R* •
Б соответствии с формулой (6.23)
uD
[ГЛ.
(0.24)
С
RR* du
R*E + Ru0 - и (R + R*) '
CRR* R*E — 11 (“c“o) — UCR*
R -j- R* R*E — R (uq — u0) — UpR* ’ так как на основании (6.24)
— Wo й*
= lei
Ug
TO
RR* J 1 2 ~ b R + R* 111
R*
E — Rir
1 Id,
E — RiD — uD
Найдем теперь законы изменения и на участках АВ и CD. Закон изменения и на участке АВ найдем из уравнения
du ___ Е — и
dt RC
Общим решением этого уравнения будет
и = Ae~4RC -f- Е,
где А — постоянная интегрирования. При t—0 и = uD, следовательно, А = ud — Е и
и = (ud — E)e~4RC -j- Е.
На участке CD справедливо уравнение
du Е — и i ~dt ~RC С~' '
Используя выражение (6.24), получим
R* + R R*E + Ru0
du
~df
CRR*
CRR*
УТОЧНЕНИЕ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ
227
Решая это уравнение, приняв во внимание, что при t = О и = ис, будем иметь
Й+Д* ,
/ R*E + Ruo \ аж* . R*E + Ru0
R + R*) + R + R* '
Зная закон изменения и по формуле (6.24), можно определить закон изменения i. На рис. 6.18 показаны примерные графики изменения и и г. На графиках видно пилообразное изменение и и скачкообразное изменение г.
Г Л А В А 7
ВВЕДЕНИЕ В КАЧЕСТВЕННУЮ ТЕОРИЮ
И ТЕОРИЮ НЕЛИНЕЙНЫХ КОЛЕБАНИЙ МНОГОМЕРНЫХ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ
Задачей качественной теории многомерных динамических систем является совместное изучение структур разбиения фазового пространства и пространства параметров. Эта общая трактовка предмета исследования качественной теории, как математической основы теории нелинейных колебаний, включает в себя изучение установившихся движений и их бифуркаций, выяснение областей притяжения установившихся движений, а также глобальной картины их взаиморасположения и перехода друг в друга при изменении параметров [1—3, 36, 41].
Наибольшие трудности в таком исследовании представляют глобальные вопросы. Локальные исследования несравнимо более просты. В связи с этим можно видеть основное направление качественной теории в том, чтобы, опираясь на локальные исследования, шаг за шагом расширять исследуемые области фазового пространства и пространства параметров.
Если фазовое пространство разбить на достаточно малые области, то структура фазовых траекторий в каждой из них очень проста и вся трудность исследования состоит в соединении этих простых картинок в общую глобальную картину.
Помимо этой общей идеи изучения от локального к глобальному, фундаментальное значение имеет идея игнорирования особых случаев, ограничение рассмотрения только общими случаями.
Идеальным образцом реализации этих идей является качественная теория дифференциальных уравнений на плоскости [4, 5, 46]. Если ограничиться только общими локальными картинками разбиения, то таких существенно
ГЛ. 7] МНОГОМЕРНЫЕ ДИНАМИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ
229
разных картинок на плоскости будет только четыре. Это — окрестность обыкновенной точки и окрестности особых точек типа устойчивого или неустойчивого узла или фокуса и типа седла (рис. 7.1).
Первый шаг расширения рассматриваемых областей приводит к выявлению особой роли замкнутых траекторий
Рис. 7.1
и сепаратрис седловых состояний равновесия. Отсекая особые случаи, приходим к двум существенно разным локальным картинкам, представленным на рис. 7.2, на которых изображены окрестности простых устойчивого и неустойчивого периодических движений. После этого удается склеить все локальные картинки вместе и прийти к полной ясности в отношении вида общего разбиения фазовой плоскости на траектории. Как известно, это разбиение в общем случае составлено из конечного числа областей притяжения, устойчивых состояний равновесия и периодических движений, все виды которых возможно перечислить [1, 4]. Некоторые из них изображены на рис. 7.3. Это означает полное исследование вопроса о структуре разбиения фазовой плоскости на фазовые траектории.
Вторая часть проблемы качественного изучения — теория зависимости от параметров — решается в таком же порядке. Проводится локальное исследование бифуркаций, затем выясняется их роль в изменении глобальной структуры. Отсекаются особые случаи.
230
МНОГОМЕРНЫЕ ДИНАМИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ [ГЛ. 7
Несомненно, что такой же путь возможен и в качественной теории многомерных динамических систем. Однако его реализация несомненно сложнее и встречает на своем
Рм. 7.2
