Введение в теорию нелинейных колебаний - Бутенин Н.В.
Скачать (прямая ссылка):
а0>0 а0 > 0 ао > 0 ао < 0 а,, > 0 Ьо > 0
60< о 6о<0 6„< 0 ь0 «с 0 &о>0 а0 < 0
ао > ]&о| ао < |Ьо[ 2ао <С Ы
2а0 > |60|
Условия устойчивости, очевидно, будут
а0 — bо ^ п2 Яо — 76о
3 < Щ < g ,
^ (®о + — ^2) + В (b0 + 2Rz) < 0.
Заметим теперь, что в плоскости R2Ql кривая (5.133) имеет вертикальные касательные в точках
Л1 = ап, <??,= 0, = 0^4(^)3,
кривая (5.135) — в точках
nl=«L=h.t <$ = о,
aoj~7bo_ ^ ($я=--*.(2Ь0 + а0)>.
Кривые (5.133) и (5.135) всегда пересекаются в точке Я*=-Ь., <2оэ = — (2о0 + 6о)3.
Перейдем теперь к исследованию движений вагона при изменении амплитуды внешней силы. Из рис. 5.38 и 5.39 можно составить табл. 5 возможных соотношений между а0 и Ь0 при различных значениях ? = п21п\.
Остановимся только на рассмотрении случаев 2, 3 и
4 как наиболее характерных.
В случае 2 при = 0 система совершает устойчивре бигармоническое движение с частотами кх и к2 = q. При 0 < Ql < (?02 система совершает устойчивое бигармоническое движение с частотами кх и к2 = q- При Q\ ^> (?ог устойчивых режимов движений нет.
НЕАВТОНОМНЫЕ ДИНАМИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ
203
В случае 3 при Q0 = 0 система совершает периодическое движение с частотой к2 = q. При 0 < Ql < (?оз си~ стема совершает периодическое движение с частотой к2 — q\ при < (?о < (?оз система совершает бигармоническое движение с частотами кх и к2 = q\ при Ql > Ql2 устойчивых движений нет (рис. 5.43).
В случае 4 при Q0 = 0 исходная система находится в состоянии равновесия. При Qn Ф 0 возможны два подслучая:
а) 2 | а0 | > 5 | Ъ0 |. При 0 <
<С (?о < (?оз система совершает периодическое движение с частотой к2 = q; при Ql > Q^ устойчивых 4
режимов нет.
б) 2 | а0 | < 5 | Ъ0 |. При 0< Рис- 5 43
Ql (?оз система совершает периодическое движение с частотой к2= q; при (?о3 < (?о <
< (?02 совершается бигармоническое движение с частотами кх и к2 = q\ при Ql Qln устойчивых режимов нет.
Если провести аналогичным образом исследование случая кг = q < кг, то можно сделать следующие выводы: если в отсутствие внешней силы система совершает устойчивые бигармонические движения, то при включении внешней силы устойчивый бигармонический режим сохраняется; при дальнейшем увеличении амплитуды внешней силы система или теряет устойчивые режимы, или в ней возникает устойчивый периодический режим с частотой внешней силы, который исчезает при достижении амплитудой внешней силы определенного значения.
Если в отсутствии внешней силы система совершает периодическое движение с частотой к2, то при включении внешней силы возникает устойчивый бигармонический режим, который затем преходит в устойчивое периодическое движение с частотой кх — q; при дальнейшем увеличении амплитуды внешней силы система теряет устойчивые режимы. Если в отсутствии внешней силы система находится в покое, то при включении внешней силы наступает периодический режим с частотой кг = q\ при дальнейшем увеличении амплитуды внешней силы система теряет устойчивые режимы.
ГЛАВА 6
РАЗРЫВНЫЕ КОЛЕБАНИЯ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ С МАЛЫМИ ПАРАМЕТРАМИ ПРИ (СТАРШИХ) ПРОИЗВОДНЫХ
§ 1. Рассмотрение вырожденных систем с помощью гипотезы скачка
Как известно, исследование поведения какой-либо динамической системы всегда начинается с построения математической модели такой системы, т. е. с решепия вопроса
о том, что является определяющим для поведения системы в данных условиях, а что второстепенным. Однако заранее сказать, что сделанные предположения являются правильными и полученная модель правильно отражает поведение реальной системы, не представляется возможным до сравнения теории и эксперимента.
Обычно при построении математической модели динамической системы пренебрегают теми или иными параметрами, считая их малыми, несущественными, и тем самым получают математическую модель более простую, чем при учете всех параметров, описываемую системой дифференциальных уравнений более низкого порядка, так называемую вырожденную систему. Но при этом возможно возникновение ситуации, когда в некоторые моменты времени полученная система уравнений не дает однозначного ответа о поведении системы. Это значит, что среди отброшенных «малых» параметров имеются такие, влиянием' которых во все время движения системы пренебрегать нельзя, несмотря на их малость. Очевидно, что одним из путей выхода из этого положения может быть учет ранее отбрасываемых параметров, но при этом возрастает порядок дифференциальных уравнений, описывающих систе-
ВЫРОЖДЕННЫЕ СИСТЕМЫ
205
му, и, следовательно, возрастают трудности математического исследования.
Другим путем разрешения возникшего положения при сохранении упрощенной модели может служить введение какой-либо физической гипотезы о поведении системы в этой ситуации, например гипотезы «скачка», когда физически обосновывается скачкообразный переход системы из одного состояния в другое.
