Введение в теорию нелинейных колебаний - Бутенин Н.В.
Скачать (прямая ссылка):
го бесконечного ускорения. Оставаться там она не может, выйти из нее по фазовой траектории также не может. Остается предположить, что угловая скорость в силу того, что в точке В ф имеет бесконечное значение, изменится скачком. Чтобы выяснить, куда придет система после скачка, следует сформулировать «условие скачка». В рассматриваемом случае сила упругости пружины и сила тения остаются неизменными (при принятой идеализации). Поэтому, если за условие скачка принять то условие, что
система придет в такое новое положение, которое соответствует прежней энергии системы, и так как координата системы при скачке меняться не будет, то скачок произойдет в положение, соответствующее прежнему значению силы трения, т. е. в точку С (рис. 6.5). Далее изображающая точка будет двигаться с конечной скоростью и ускорением до точки D — точки устойчивого бесконечного ускорения.
Все сказанное относительно точки В относится и к точке D. В точке D произойдет скачок в скорости, изобра-е жающая точка попадет в точку А, и процесс, повторяясь, будет продолжаться дальше.
Для выяснения физической картины явления разрывных колебаний рассмотрим эту же задачу, приняв, что
ВЫРОЖДЕННЫЕ СИСТЕМЫ
211
lip = — сф -j- М (ф)
тф 0 [2]. Так как нас интересует в основном качественная картина, то можно принять для рассмотрения грубо идеализированную характеристику трения, представленную на рис. 6.6. Точки сопряжения прямых на характеристике доопределим таким образом, чтобы в них выполнялось условие dT (ф)/dt = 0, что вполне совместимо с действительной характеристикой. Уравнения движения имеют вид
-М0<М(Ф)<М0, Ф = ?2,
М (ф) = А^ф + bv — со1 < ф < Q, М (ф) = — А2ф + Ь2, ф < — со15
(6.4)
где / — момент инерции колодки, М — момент силы трения, М0 — максимальный момент трения покоя, Ъх = = М q kjQ, Ъг = М q —
— — w1(A;1 + к2). Примем
кх к2 и будем считать, что кг
I _J_ . Рассмотрим область
^ 4 с
—®1 Ф Уравнение
(6.4) для этой области
имеет вид
/ф --- —сф + Аур + blt
(6-5) рис. 6.6
которое можно записать в виде двух уравнении первого порядка:
йф _ — сф Ь1 йф
dt I ’ dt
:ф.
Отсюда имеем
dip
dq>
сф Щ Ь\ ф/
(6.6)
На плоскости фф точка с координатами ф = bjc, ф = О является особой точкой уравнения (6.5) типа неустойчивого узла. Других особых точек это уравнение не имеет. Фазовые траектории даются уравнением
[ф —Рх(ф—y-)]Pl = c1 [ф — Р* (ф — -г)]Р\ (6-7)
212 РАЗРЫВНЫЕ КОЛЕБАНИЯ [ГЛ. 6
где
рг = Ах -1- /А®-©»><), $% = hx-ih\-со2,
г. К 9 е
hi — ~2T » © — — .
Геометрическое место точек, в которых кривые (6.7) имеют горизонтальные касательные, представляет собой на плоскости прямую
Ф = т(ф-т")- (6'8)
Геометрическое место вертикальных касательных — прямая ф = 0. Заметим, что прямая (6.8) проходит через точку с координатами <р = М0/с, ф = Q. Рассмотрим область ф —(Oj. Уравнение (6.4) для этой области имеет вид
/ф = —сф — А:2ф + Ь2 (6.9)
или, в другой форме записи,
Ар Сф — /с2ф + 62 dq>
~df 1 ’ ~йГ=<Р’
или
йф __ Сф — /с2ф -(- 62
dq> /ф
Здесь уравнение фазовых траекторий имеет вид
(6.10)
/ ъ2 \1 а,
ф - -<Цф- --- ) --- с2
Ф
а2(ф-"^)Г’ (6Л1)
где
h
г = — h2 Yh\ — со2 <^0, а2 = — /г2 — V К\ — со2,
~2Г '
Геометрическим местом горизонтальных касательных кривых (6.11) будет прямая
* = -?('"--г)- (6Л2)
Геометрическое место вертикальных касательных ф = 0. Особая точка — устойчивый узел с координатами ф = = Ъ21с, ф = 0 (находится вне рассматриваемой области). Прямые (6.8) и (6.12) пересекаются в точке с координатами
Ф = -----т- (^ + ®i)> Ф = — ®i- На рис. 6.7 пред-
ставлена фазовая плоскость фф уравнения (6.4). На-
ВЫРОЖДЕННЫЕ СИСТЕМЫ
213
правление движения по фазовым траекториям указано стрелками. Рассмотрим движение с начальными условиями
----Г<СР< — ’ <P==Q-
Изображающая точка будет перемещаться, например, от точки А0 по фазовой прямой <р = й до точки At с координатами ф = М0/с, ф = ?2, что соответствует движению колодки вместе с валом. Далее движение начинается по фазовой траектории семейства (6.7), которая, пересекая ось ф = 0 под прямым углом, достигает точки А2
на прямой <р = — Wj. От точки А2 движение происходит по фазовой траектории семейства (6.11), которая при пересечении с прямой (6.12) имеет горизонтальную касательную, до точки As, для которой
